分治与递归【原理篇】

一、算法总体思想：

1.总体思想：

将一个复杂的规模为n的问题分解为k个规模较小的问题如此递归分解下去直至问题规模足够小，很容易求解为止。

将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。

2.分治法的适用条件：

该问题可以分解为若干个规模较小的、很容易解决的相同问题（最优子结构性质）
子问题的解可以合并为该问题的解；
子问题之间不包含公共的子问题；

3.一般的算法设计模式：

divide_and_conquer(P)
{
    if(|P|<=n0)//问题规模小于n0时，不必分解
        adhoc(P);//该分治法中的基本子算法，用于直接求解小规模问题Pi
    
    divide P into smaller P1,P2,P3,...,Pk;
    for(int i=0;i<=k;i++)
    {
        yi=divide_and_conquer(Pi);
    }
    return merge(y1,y2,...,yk);//该分治法中的合并子算法，将各子问题的解合并为P的解

}

4.分治法的算法发展性分析：

使用分治法设计出的算法一般为递归算法，因此通常充分利用递归表达式计算算法时间复杂度。此时对于条件的假设如下：

将一个问题规模为n的问题分为k个问题规模为n/m的子问题
adhoc解规模为1 的子问题时耗费1个单位时间
将原问题分解、合并子问题的解需要f（n）个单位时间

则有：

$T(n)=\left\{\begin{matrix} O(1) &&n=1 \\ kT(n/m)+f(n) &&n>1 \end{matrix}\right.$

对递推式展开，有：

$\begin{aligned} T(n)&=k\frac{n}{m}+f(n)\\ &=k^2T(\frac{n}{m^2})+f(n)+kf(\frac{n}{m})\\ &=k^3T(\frac{n}{m^3})+f(n)+kf(\frac{n}{m})+k^2f(\frac{n}{m^2})\\ &=...\\ &=k^{\log_m n}+\sum_{j=0}^{\log_m n-1} k^{j}f(\frac{n}{m^{j}})\\ &=n^{\log_m k}+\sum_{j=0}^{\log_m n-1} k^{j}f(\frac{n}{m^{j}}) \end{aligned}$