4.5 证据理论
证据理论(theory of evidence):又称D一S理论，是德普斯特(APDempster)首先提出，沙佛(GShafer)进一步发展起来的一种处理不确定性的理论
D-S证据推理针对的是6分不清”或“不知道”这样的不确定性;
1981年巴纳特(JABarnett)把该理论引入专家系统中，同年卡威(JGarvey)等人用它实现了不确定性推理
目前，在证据理论的基础上已经发展了多种不确定性推理模型
1)识别框架(样本空间)
识别框架就是所考察判断的事物或对象的集合记为D。
识别框架的子集就构成求解问题的各种解答。这些子集也都可以表示为命题。证据理论就是通过定义在这些子集上的几种信度函数，来计算识别框架中诸子集为真的可信度
例如，在医疗诊断中，病人所有可能的疾病集合构成识别框架，证据理论就从该病人的各种症状出发，计算病人患某类疾病(含多种病症并发)的可信程度。
4.5.1 概率分配函数
设 D 是变量 x 所有可能取值的集合，且 D 中的元素是
互斥的，在任一时刻 x 都取且只能取 D 中的某一个元素为值，则称 D 为 x 的样本空间。
在证据理论中，D 的任何一个子集 A 都对应于一个关于
x 的命题，称该命题为“ x 的值是在 A 中”。
设 x ：所看到的颜色，D={红，黄，蓝}，
则 A={红}：“ x 是红色”；
A={红，蓝}：“x 或者是红色，或者是蓝色”。
4.5.2 信任函数
4.5.3 似然函数
似然函数（plansibility function）：不可驳斥函数或上限函数。
4.5.4 信任函数与似然函数的关系
可以用信度函数Bel(A)和似然函数Pl (A)对证据的不确定性进行度量。它们是D-S证据理论种衡量证据不确定性的指标。
信任函数值Bel(A)表示证据对命题A为真的信任程度
似然函数值Pl(A)表示证据对命题A不为假的信任程度。
4.5.5 概率分配函数的正交和
如果k≠0 ，则正交和 M也是一个概率分配函数；
如果k=0 ，则不存在正交和 M，即没有可能存在概
率函数，称 M1与M2 矛盾。
4.5.6基于证据理论的不确定性推理
基于证据理论的不确定性推理的步骤
(1)建立问题的识别框架D
(2)给幂集2^D定义基本概率分配函数;
(3)计算所关心的子集A∈2^D(即D的子集)的信任函数值Bel(A)、似然函数值PI(A);
(4)由BeI(A)、PI(A)得出结论
例题：
设有规则：
（1）如果 流鼻涕 则 感冒但非过敏性鼻炎（0.9）或 过敏性鼻炎但非感冒（0.1）。
（2）如果 眼发炎 则 感冒但非过敏性鼻炎（0.8）或 过敏性鼻炎但非感冒（0.05）。
有事实：（1）小王流鼻涕（0.9）。M1
（2）小王发眼炎（0.4）。M2
问：小王患的什么病？
解：
取样本空间：D = {h1 ,h2 ,h3}
h1表示“感冒但非过敏性鼻炎”，
h2表示“过敏性鼻炎但非感冒”，
h3表示“同时得了两种病”。
取下面的基本概率分配函数：
M1({h1}) = 0.90.9 = 0.81
M1({h2}) = 0.9 0.1 = 0.09
M1({h1 ,h2 ,h3}) = 1− M1({h1}) − M1({h2}) = 1− 0.81− 0.09 = 0.1
M2({h1}) = 0.40.8 = 0.32
M2({h2}) = 0.4 0.05 = 0.02
M2({h1 ,h2 ,h3}) = 1− M2({h1}) − M2({h2}) = 1− 0.32 − 0.02 = 0.66
将两个概率分配函数组合：
K = 1/{1−[M1({h1})M2({h2}) + M1({h2})M 2({h1})]}
= 1/{1−[0.81* 0.02 + 0.0 9* 0.32]}
= 1/{1− 0.045} = 1/ 0.955
= 1.05
M ({h1}) = K[M1({h1})M2({h1}) + M1({h1})M2({h1 ,h2 ,h3} + M1({h1 ,h2 ,h3})M2({h1})]
= 1.0 5* 0.8258
= 0.8 7
M ({h2}) = K[M1({h2})M2({h2}) + M1({h2})M2({h1 ,h2 ,h3}+ M1({h1 ,h2 ,h3})M2({h2})]
= 1.05* 0.0632
= 0.066
M({h1,h2 ,h3}) =1− M ({h1}) − M ({h2})
=1− 0.87 − 0.066
= 0.064
信任函数：
Bel({h1}) = M ({h1}) = 0.87
Bel({h2}) = M ({h2}) = 0.066
似然函数：
Pl({h1}) =1− Bel(┐{h1}) =1− Bel({h2 ,h3})=1−[M ({h2}+ M ({h3}) =1−[0.066+ 0] = 0.934
Pl({h2}) =1− Bel(┐{h2}) =1− Bel({h1,h3})=1−[M ({h1}+ M ({h3}) =1−[0.87+ 0] = 0.13
结论：小王可能是感冒了。
4.6 模糊推理方法
4.6.1 模糊逻辑的提出与发展
1965年，美国LAZadeh发表了“fzzy set”的论文，首先提出了模糊理论
Lotfi A. Zadeh
从1965年到20世纪80年代，在美国、欧洲、中国和日本，只有少数科学家研究模糊理论
1974年，英国Mamdani首次将模糊理论应用于热电厂的蒸汽机控制。
1976年，Mamdani又将模糊理论应用于水泥旋转炉的控制。
1983年日本Fuii Electric公司实现了饮水处理装置的模糊控制
1987年日本Hitachi公司研制出地铁的模糊控制系统口1987年一1990年在日本中报的模糊产品专利就达319种
目前，各种模糊产品充满日本、西欧和美国市场，如模糊洗衣机、模糊吸尘器、模糊电冰箱和模糊摄像机等。
4.6.2模糊集合
- 模糊集合的定义
模糊性:客观事物在性态与类属方面的不分明性
例:某人个子高，某人个子较高
“高”与“较高”没有明显的界限
随机性:有明确定义但不一定出现的事物中包含的不确定性，不以人的主观意识而变化，由事物本身的因果规律决定。
模糊性:已经出现但难以给定精确定义的事物包含的不确定性，由事物的概念界限模糊和人的主观推理与判断产生。
1模糊集合的定义
论域: 所讨论的全体对象，用U等表示
元素: 论域中的每个对象，常用a,b,c,x,y,z表示
集合: 论域中具有某种相同属性的确定、可以彼此区别的元素全体，常用A，B等表示。
元素a和集合4的关系: a属于A或a不属于A，即只有两个真值“真”和“假”。
-
模糊集合的表示方法
（1）Zadeh表示法
（2）序偶表示法
（3）向量表示法
模糊集可作为软概念的数学模型
-
隶属函数
常见隶属函数：正态分布、三角分布、梯形分布等
隶属函数确定方法：
（1）模糊统计法
（2）专家经验法
（3）二元对比排序法
（4）基本概念扩充法
4.6.3模糊集合的运算
4.6.4 模糊关系与模糊关系的合成
4.6.5模糊推理
4.6.6 模糊决策
由模糊推理得到的结论或者操作是一个模糊向量，转化为确定值的过程。
-
最大隶属度法
-
加权平均判决法
-
中位数法
找不到中位数则用线性插值处理！
4.6.7 模糊推理的应用
4.7 模糊控制
口1965年，美国L.AZadeh发表了“fuzzy set”的论文，首先提出了模糊理论。
口从1965年到20世纪80年代，在美国、欧洲、中国和日本，只有少数科学家研究模糊理论
口1974年，英国Mamdani首次将模糊理论应用于热电厂的蒸汽机控制。1976年，Mamdani又将模糊理论应用于水泥旋转炉的控制
口1983年日本Fuiilectric公司实现了饮水处理装置的模糊控制
口1987年日本Hitachi公司研制出地铁的模糊控制系统
口1987年一1990年在日本申报的模糊产品专利就达319种
口目前，各种模糊产品充满日本、西欧和美国市场如模糊洗衣机、模糊吸尘器、模糊电冰箱和模糊摄像机等。
口常规控制一般都要求系统有精确的数学模型大多数工业过程具有不确定性，采用常规控制很难实现有效控制，而模糊控制可以利用语言信息却不需要精确的数学模型，从而可以实现对不确定性系统较好的控制
模糊控制的应用：
热交换过程的控制
暖水工厂的控制
污水处理过程控制
交通路口控制
水泥窑控制
飞船飞行控制
机器人控制
车停靠和转弯控制
汽车速度控制
水质净化控制
电梯控制
核反应堆的控制
模糊控制器的输入变量通常取E或E、EC或E、ECER，分别构成所谓一维、二维、三维模糊控制器。
一般选择控制量的增量作为模糊控制器的输出变量。
描述模糊控制器的输入、输出变量的状态
{负大，负中，负小，零，正小，正中，正大](NB，NM，NS，O，PS，PM，PB}
描述误差变量的词集一般取为:
{负大，负中，负小，负零，正零，正小，正中，正大](NB，NM，NS，NO，PO，PS，PM，PB}
变量的模糊化(Fuzzification):将输入模糊控制器的精确量转换为模糊量。
