基于GA遗传优化算法的TSP问题求解matlab仿真

旅行商问题(Traveling Salesman Problem, TSP)是计算机科学和运筹学中的经典问题。给定一系列城市和每对城市之间的距离，TSP要求找出访问每个城市一次并返回起点的最短路径。这是一个NP-hard问题，意味着没有已知的多项式时间算法可以求解所有实例。因此，研究者经常使用启发式方法来寻找近似解，其中遗传算法(Genetic Algorithm, GA)是一种广泛应用的方法。

TSP问题（Traveling Salesman Problem），是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求所选的路径路程为所有路径中的最小值。

从图论的角度来看，TSP问题的输入是一个边带权的完全图，目标是找一个权值和最小的哈密顿回路。TSP问题可大致分为对称TSP问题和非对称TSP问题。所谓对称指的是在模型中，城市u 到城市 v的距离与城市u到城市 v的距离是一样的，其在图中的体现就是对称TSP问题的输入一般是无向图，而非对称TSP问题的输入往往是有向图。本文主要讨论的是对称TSP问题。

一、遗传算法概述

遗传算法是受自然选择和遗传学启发的搜索算法。它模拟了自然选择中的“适者生存”原则，通过迭代地改进一个解决方案的种群来寻找问题的最优解。GA的基本步骤包括初始化、选择、交叉（杂交）、变异和终止。

二、遗传算法在TSP中的应用

扫描二维码关注公众号，回复： 17326328 查看本文章

根据算法的流程图可知，遗传算法的基本步骤如下：

编码：在TSP中，每个解都可以表示为一个城市的排列。例如，对于5个城市A, B, C, D, E，路径ABCED是一个可能的解。这种编码方式称为排列编码。
初始化：随机生成一个初始种群，其中包含N个个体（解）。每个个体代表TSP问题的一个可能路径。
适应度函数：为了评估每个个体的“适应度”，我们使用路径长度的倒数作为适应度函数。路径越短，适应度越高。
(fitness = \frac{1}{total\ distance})
其中，总距离是路径中所有城市间距离的和。
选择：选择操作根据每个个体的适应度来选择父母，用于产生下一代。常用的选择方法有轮盘赌选择、锦标赛选择等。
交叉（杂交）：交叉操作是GA中的关键步骤，它模拟了生物进化中的基因重组过程。在TSP中，常用的交叉方法有PMX (Partially Mapped Crossover)、OX (Order Crossover)和LOX (Large Order Crossover)等。以PMX为例，首先随机选择两个交叉点，然后交换两个父代个体在这两点之间的子串，并通过映射修复可能产生的重复城市。
变异：变异操作模拟了生物进化中的基因突变过程，有助于保持种群的多样性。在TSP中，常见的变异方法有交换变异（随机交换路径中的两个城市）、倒置变异（随机选择一段子路径并反转）等。
终止条件：当达到预设的最大迭代次数或满足某个停止准则（如适应度达到某个阈值）时，算法终止。

三、MATLAB程序

clc;
clear;
close all;
warning off;
addpath(genpath(pwd));
rng('default')



data  = 20000*rand(100,2);
count = length(data);

population_size = 200;
iterations = 5000;
show_iterations = true;
show_iteration_every = 100;

text_x = max(data(:,1)) * 0.15;
text_y1 = max(data(:,2)) * 0.2;
text_y2 = max(data(:,2)) * 0.25;
text_y3 = max(data(:,2)) * 0.3;

%% Initianl population
initial_population = zeros(population_size, count);
for i = 1: population_size
    initial_population(i,:) = randperm(count);
end

fitnesses(population_size) = 0;
population = initial_population;

%% Evolving loop
for round = 1 : iterations
    %% Fitness calculation
    for i = 1: population_size
        fitnesses(i) = tsp_ga_fitness(data, population(i,:));
    end
    % disp(fitnesses);

    %% Parents Selection
    [selected, old_fittest] = tsp_ga_selection(population_size/2, population, fitnesses);
    % disp(selected);
    
    old_population = [];
    for i = length(selected) : -1 : 1
        old_population(i,:) = population(selected(i),:);
        old_fitnesses(i) = fitnesses(selected(i));
    end
    % disp(old_fitnesses);
    
    %% Recombination and Mutation
    new_population = tsp_ga_recombination(old_population);
    for i = 1 : size(new_population, 1)
        new_population(i,:) = tsp_ga_mutation(new_population(i,:));
    end
    
    %% %% Fitness calculation
    new_fitnesses = fitnesses(1:population_size/2);
    for i = 1 : population_size/2
        new_fitnesses(i) = tsp_ga_fitness(data, new_population(i,:));
    end
    % disp(new_fitnesses);
    
    all_population = [old_population; new_population];
    all_fitnesses  = [old_fitnesses, new_fitnesses];
    % disp(all_fitnesses);
    
    %% Natural Selection
    [next_generation, new_fittest] = tsp_ga_selection(population_size, all_population, all_fitnesses);
    % disp(size(population));
    % disp(size(old_population));
    % disp(size(new_population));
    % disp(size(all_population));
    % disp(size(next_generation));
    for i = 1 : population_size
        population(i,:) = all_population(next_generation(i), :);
    end
    
    %% Display the generation
    if show_iterations == true && rem(round, show_iteration_every)==1
        clf;
        tsp_ga_display(data, new_population(new_fittest,:), 'r');
        tsp_ga_display(data, old_population(old_fittest,:), 'b');
        text(text_x, text_y1, num2str(old_fitnesses(old_fittest)));
        text(text_x, text_y2, num2str(new_fitnesses(new_fittest)));
        text(text_x, text_y3, num2str(round));
        drawnow;
    end
end
% disp(all_fitnesses);
clf;
tsp_ga_display(data, old_population(old_fittest,:), 'b');
text(text_x, text_y1, num2str(old_fitnesses(old_fittest)));
        text(text_x, text_y3, num2str(round));
disp(min(all_fitnesses));