《算法导论》练习2.3-7

今天是五一放假第一天，放完假就要考试了，本来今天打算复习一下高数，结果无奈今天好像状态不太对，就开始啃《算法导论》了。

习题2.3-7：设计一个算法，对于一个给定的包含n个整数的集合S和另一个给定的整数X，该算法可以在Θ(nlgn)时间内确定S中是否存在两个元素，使得它们的和恰为X。

Θ(nlgn)的时间复杂度很容易让人想到利用快速排序，归并排序等Θ(nlgn)的算法首先进行排序，因为无序的序列实在是太难处理了。然后用两个下标
i=0;
j=Array.length-1;
通过每次比较两个位置的元素的和来缩小判定范围。伪代码如下

checkSum(A,x)
{
    //进行升序排序，可以换成任意一个时间为Θ(nlgn)的排序算法
    mergeSort(A,A.length)
    i=0;
    j=A.length-1;
    while(i<j)
        if(A[i]+A[j]>x)
            j--;
        else
            if(A[i]+A[j]<x)
                i++;
            else
                return true;
    return false;
}

下面是利用循环不等式对上述算法进行证明

初始化：设给定的数组A中可能存在两个元素a，b，使得a+b==x为真。排序后若a，b存在则两者显然在A[0…A.length-1]中，这里假设数组时升序排序的。令i=0，j=A.length-1。
保持：第一次迭代前（也就是数组刚刚排序完成后）若a，b存在则两者显然在A[i…j]中
- 如果A[i] + A[j] > x，说明A[i]和A[j]中至少有一个不是我们要找的a，b。由于数组时升序排列的，所以A[j]肯定是大于等于A[i]的，这时应该寻找比A[j]更小的元素，也就是A[j]的前一个元素，这时若a,b存在则必然有a，b在A[i…j-1]中,故执行j的值减一，此时若a，b存在，则a，b必在A[i…j]中。
- 如果A[i] + A[j] < x,说明A[i]和A[j]中至少有一个不是我们要找的a，b。由于数组时升序排列的，所以A[j]肯定是大于等于A[i]的，这时应该寻找比A[i]更大的元素，也就是A[i]的后一个元素，这时若a,b存在则必然有a，b在A[i+1…j]中,故执行i的值加一，此时若a，b存在，则a，b必在A[i…j]中。
- 如果A[i] + A[j] == x为真，则说明A[i] A[j]是我们要找的a，b，直接返回真值。
- 由上述过程可知第一次迭代前若a，b存在则必然在A[i…j-1]中或者已经被找到，每次迭代结束，若a，b存在则必然也在A[i…j-1]中，或者已经被找到。每次迭代都会缩小查找范围。
终止：每次迭代都会缩小a，b所在的范围，当i = j的时候，范A[i…j]内只有一个元素，很明显不符合求和为x的要求，当i > j的时候，A[i…j]内不存在元素（这里以i为起点，j为终点），显然不符合求和为x的要求，则直接返回false表示未找到符合要求的两个元素。

时间复杂度证明：

归并排序的时间复杂度为稳定的Θ(nlgn)
后续的7~14行的循环部分平均和最坏时间复杂度均为Θ(n)
两种算法并列，则checkSum算法的时间复杂度为稳定的Θ(nlgn)

总结：算法题还是要自己多思考，并利用工具进行证明，例如循环不等式，数学工具或其他方式。

《算法导论》练习2.3-7

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