算法导论第二章练习参考答案

2.1-3 考虑以下查找问题：

输入：n个数的一个序列 $A=<a_1,a_2,\cdots,a_n>$和一个值 $v$。

输出：下标 $i$使得 $A[i]=v$或者当 $v$不在 $A$中出现时， $v$为特殊值 $NIL$

写出线性查找的伪代码，它扫描整个序列来查找 $v$。使用一个循环不变式来证明你的算法是正确的。确保你的循环不变式满足三条必要的性质。

LINEARSEARCH(A,v)
	for i=1 to A.length
		if A[i]==v
			return i
	return NIL

循环不变式：子数组中不存在 $v$

初始化： $i=1$时，子数组为空数组中不存在 $v$

保持：当迭代到第 $i$步时，如果 $A[i]\neq v$， $A[1\dots i]$中不存在 $v$，循环不变式保持，如果 $A[i]=v$循环不变式终止。

终止：当循环终止时， $i=A.length+1$，数组 $A[1\dots n]$中不存在 $v$。

2.1-4 考虑把两个 $n$为二进制数加起来的问题，这两个整数分别存储在两个 $n$元数组 $A$和 $B$中。这两个整数的和应按二进制形式存储在一个 $(n+1)$元数组 $C$中。请给出该问题的形式化描述，并写出伪代码。

数组 $A$和 $B$最高位存储在 $A[1]$和 $B[1]$中，从 $i=A.length$到 $i=1$， $C[i] =A[i]+B[i]+K$，其中K为进位，最后把进位 $K$赋给C[1]

ADD(A,B)
    let C[1...n+1] be a new array
    K=0
    for i=A.length downto 1
        C[i+1]=A[i]+B[i]+K
        if C[i+1]==2
        	C[i+1]=0
        	K=1
        else
        	k=0
    C[1]=K
    return C

2.2-2 考虑排序存储在数组 $A$中的 $n$个数：首先找出 $A$中的最小元素并将其与 $A[1]$中的元素进行交换。接着，找出

$A$中次最小的元素，并将其与 $A[2]$中的元素进行交换。对 $A$中的前 $n-1$个元素按该方式继续。该算法成为选择算法，写出其伪代码。该算法维持循环不变式是什么？为什么它只需要对前 $n-1$个元素，而不是对所有 $n$个元素运行？用 $\Theta$记号给出线性查找的平均情况和最坏情况运行时间。证明你的答案。