函数在某点极限存在，连续，可导三者之间的关系

首先介绍三个定义。
1.设函数 $f(x)在x_0的去心邻域U^{0}(x_0,\delta)内有定义，则\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A的充要条件为lim_{x\rightarrow x_0^{-}}f(x)=lim_{x\rightarrow x_0^{+}}f(x)$称函数在某点极限存在
2.设函数 $f(x)在x_0的邻域U(x_0,\delta)内有定义，则函数在某点连续的充要条件为lim_{x\rightarrow x0}f(x)=f(x_0)$称函数在某点连续
3.设函数 $f(x)在x_0的去心邻域U^{0}(x_0,\delta)$内有定义，如果极限 $\lim_{x \rightarrow 0}{f(x)-f(x_0) \over x-x_0}$存在,则称函数在该点可导。

$\because$函数连续，有 $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$存在.即函数连续 $\Longrightarrow$极限存在,
反之若函数在某点极限存在，其在该点的函数值不一定存在，或者与极限值不相等。
$\because$函数在某点可导，极限 $\lim_{x \rightarrow x_0}{f(x)-f(x_0) \over \ x-x_0}$存在,又 $\because \lim_{ x\rightarrow x_0}\ x-x_0$=0。有 $\lim_{x\rightarrow x_0}({f(x)-f(x_0)})=0$通过极限运算有 $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$,有函数连续,即函数可导 $\Longrightarrow$函数连续
若函数连续，则有 $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y=0,\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta x=0$有无穷小量的知识可以知道 $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\Delta y \over \Delta x}$的值有三种情况，为0，c,无穷大(此时极限不存在）所以函数在某点连续，其不一定在该点可导
综上，有函数在某点可导 $\Longrightarrow$函数在该点连续 $\Longrightarrow$函数在该点极限存在，反向不能推导。