2022-408DS第一题(求时间复杂度)

1 题目描述

下列程序段的时间复杂度是

int sum = 0;
for(int i = 1; i < n; i *= 2)
    for(int j = 0; j < i; j++)
        sum++;

2 思路

观察程序，可以发现内层的执行次数和外层的执行次数一致，内层与外层是“捆绑”关系，简言之，外层执行一次，内层执行 i 次。所以最后结果取内层的时间复杂度即可。
整体思路就是，先求出外层的执行次数，然后代到内层中，计算出最后的时间复杂度。

3 解答

法一

首先回忆一下等比数列求和公式：
$$S=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$$其中a1代表首项，q代表公比，n为项数。

回到本题，先观察最外层的for循环，i的变化趋势为(其中k表示为第k次执行)：
$$1,2,4,8,...,2^{k-1}$$粗略求得外层的执行次数：
$$2^{k-1}=n$$$$k-1=lo{g}_{2}n$$$$k=lo{g}_{2}n+1$$$$\approx lo{g}_{2}n$$
接下来求内层时间复杂度，由于内层的执行次数和外层的循环变量i执行次数一致，于是可以得出内层循环执行次数的变化趋势：$$1,2,4,8,...,lo{g}_{2}n$$显然首项为1，公比为2，一共$lo{g}_{2}n$项，代入等比数列求和公式得：$$1\cdot \frac{1-2^{lo{g}_{2}n}}{1-2}$$$$=\frac{1-n}{-1}$$$$\to O(n)$$

法二

参考法一，内层的j最大值等于i的最大值，即$2^{k-1}$，外层最多执行到$lo{g}_{2}n$次[k是执行的次数]，写出公式：
$$\sum _{k=0}^{lo{g}_{2}n}\sum _{j=0}^{2^{k-1}}1=\sum _{k=0}^{lo{g}_{2}n}{2}^{k+1}=\frac{1-2^{lo{g}_2(n+1)}}{1-2}=n+1-1$$$$=O(n)$$

总结

简单来说，这道题也可以这么想：

i＝1，执行1次，
i＝2，执行2次，
i＝4，执行4次，
I＝8，执行8次，
…
i＝2的k次方，说明共执行2的k次方次；
等比数列求和求出结果，即为最终的时间复杂度

内容仅供参考，如有错误请指出，谢谢！