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一、数据与数据元素
数据是客观事物的符号表示，可以说是信息的载体，它是所有能被输入到计算机中，并被计算机程序识别和处理的符号集合。
数据由数据元素组成，即数据元素是数据的基本单位，而数据元素又由若干个数据项组成，所以，数据项是组成数据元素的最基本、不可分割的最小单位。
另外，具有相同性质的数据元素集合称为数据对象，它是数据的一个子集。
二、数据类型和抽象数据类型
数据类型是高级程序语言中的一个基本概念，它是值的集合和操作的集合。
- 抽象数据类型（ADT）是指一个数学模型及定义在该模型上的一组操作，它包括三个部分，
数据对象、数据对象上关系的集合、对数据对象的基本操作的集合，简单可概括为数据对象、数据关系和基本操作。可以用抽象数据类型定义一个完整的数据结构，抽象数据类型的定义取决于它的一组逻辑特性，另外，数据结构的抽象操作的定义与具体实现无关。
三、数据结构的定义
探究一种数据结构的方法分为三个步骤：
1、首先，要定义数据元素之间的关系，即定义逻辑上的结构；【数据如何组织】
2、由于需要存储这些数据元素，所以需要确定某种存储结构，实现数据结构以及对数据结构的基本运算，即定义存储结构；【数据如何存储】
3、针对实现的需求，需要对这种逻辑结构进行怎样的运算，即数据的运算。【数据的运算如何实现】
例如，举一个现实中的例子，公司员工的信息表，其中每个员工的信息就是一个数据元素；由于每个员工都有员工编号，所以其编号的前后员工也是存在的，即有前驱和后驱（线性结构），另外，公司中还存在一个经理来领导某一个部门的所有员工（非线性结构），从而对应逻辑结构；这些信息都某种存储方式被存储在计算机中，其中存储的方式有很多，即对应存储结构；当公司有新的员工入职（增加）、老员工离职（删除）、员工信息修改（修改）、查找某个员工的信息（查找）等情况，即对应数据的运算。
- 数据结构，指这些数据元素中
存在一种或多种特定关系的数据元素的集合，简单点说，数据结构就是带结构的数据元素集合，它包括逻辑结构、存储结构和数据的运算共三个方面，即数据结构的三个方面缺一不可，另外，存储结构也可称为物理结构。
例如，一维数组中存在一对一的关系，它存储一组具有相同数据类型的数据元素，通过数组下标来访问，每个数据元素在一维数组中都对应有一个特定的位置，如下：
| 数组下标 | 0 | 1 | 2 | … |
|---|---|---|---|---|
| 数据元素 | A | B | C | … |
二叉树是一对二，即一对多的关系，其中每个结点可以算作一个根结点，每个根结点的后继结点最多只能有两个，从而对应左子树（左孩子）和右子树（右孩子），而没有后继结点的则称为叶子结点，如下图：
（一）逻辑结构
逻辑结构指的是数据元素之间在逻辑上的关系，可分为线性结构和非线性结构，如下：
例如，顺序表、单链表、哈希表既描述逻辑结构，又描述存储结构和数据的运算，而有序表只是一种逻辑结构，它只表示数据元素之间的逻辑关系是有序的。
1、线性结构是一对一的关系，例如有线性表、栈、队列、串、一维数组等。
2、非线性结构是一对多或多对多的关系，例如有二维数组（多维数组）、广义表、树（二叉树）、图等。
通常指的线性结构即数据元素之间存在一对一的关系，树形结构（树、二叉树等）即数据元素之间存在一对多的关系，图形结构（无向图、有向图等）即数据元素之间存在多对多的关系，而集合中的数据元素之间无关系。
（二）存储结构（物理结构）
数据的逻辑结构在计算机中的表示称为存储结构，也称为物理结构，它包括数据元素的表示和关系的表示，根据其存储特点可以分为四种存储结构，即顺序存储结构、链式存储结构、索引存储结构和散列存储结构。
以上四种存储结构，由于每种存储结构都有其优缺点，不能直接地说哪种存储结构最优，只能说在针对某种数据结构中需要选择不同的存储结构时，应该选择符合其特点的数据结构才是最优的。
1、顺序存储结构
顺序存储由存储单元的邻接关系体现，即把逻辑上相邻的元素存储在物理位置上也相邻的存储单元里，其中数据是连续的。
- 该存储结构的优点是可以实现
随机存取，每个元素占用最少的存储空间，而缺点是由于只能使用相邻的一整块存储单元，从而会产生较多的外部碎片。
以线性表为例，通过顺序存储的线性表称为顺序表，它是将线性表中所有元素按照其逻辑顺序，依次存储到指定存储位置开始的一块连续的存储空间里；而通过链式存储的链表中，每个结点不仅包含该元素的信息，还包含元素之间的逻辑关系的信息。
2、链式存储结构
链式存储不要求逻辑上相邻的元素物理位置上也相邻，通过指示元素存储地址的指针来体现元素之间的逻辑关系，其数据是可离散的。
- 该存储结构的优点是
充分利用了所有的存储单元，不会造成碎片现象，而缺点是由于通过指针来表示逻辑关系，所以指针也要存储，从而占用额外的存储空间，即链式存储的存储结构所占存储空间分两部分，一部分存放结点的值，另一部分存放表示结点间关系的指针（结点内的存储单元要求连续，而不同结点的存储空间可以不连续），例如，顺序表的存储密度=1，而链表的存储密度<1，是由于结点中含有指针域。另外，链式结构只能顺序存取，不能随机存储。
以线性表为例，单链表是通过链式存储的，其每个结点除了存放数据元素之外，还存储指向下一个结点的指针；而顺序表是顺序存储的，其每个结点只存放数据元素。顺序存储结构可以随机存取、顺序存取，而链式存储结构只能顺序存取，顺序存储结构不仅可用于存储线性结构，还能用于树、图等非线性结构。
针对线性表，以上两种存储结构在线性表中的实际选择：
在一般情况下，若需对表进行频繁的插入、删除操作，此时适合选链式存储，因为顺序表平均需要移动近一半的元素且耗费时间（其插入和删除算法的平均时间复杂度为O(n)），而链表在插入和删除操作时不需要移动元素，只需修改指针；当若表的总数基本稳定，且很少进行插入和删除操作，则顺序表相较于链表可以充分发挥其存取速度块、存储利用率高的优点。
3、索引存储结构
索引存储在存储数据元素的同时还需要建立附加的索引表，其中的索引项的形式为关键字和地址，其数据是可离散的。
- 该存储结构的优点是在查找数据元素时
很快、容易找到，而缺点是由于附加了索引表，从而占用了额外的存储空间，同时，若需要增加和修改数据时，需修改索引表，会花费较多时间。
例如，查找算法中树型查找的B树、B+树的应用到了索引存储结构。
4、散列存储结构
散列存储是根据数据元素的关键字直接计算其存储地址，也称为哈希存储（Hash），其数据是可离散的。
- 该存储结构的优点是在对数据元素进行增加、删除结点操作时
很快，而缺点是若定义的哈希函数不能完全贴合情况，则会发生元素存储单元的冲突，而减少冲突从而会花费时间和一定的空间上的开销。
例如，哈希表即为一种基于散列存储结构的查找表。
（三）数据的运算
前面说过，针对实现的需求，需要对这种逻辑结构进行怎样的运算，即数据的运算，它是数据定义的一组操作，而运算的实现是通过存储结构的。【定义针对逻辑结构、实现针对存储结构】
例如，顺序表的增删改查，即为数据的运算，对应的是顺序表插入操作、删除操作、修改元素和查找元素。
四、算法的基本概念
（一）算法的特性
算法具有以下五个特性：
（1）输入
（2）输出
（3）确定性
（4）可行性
（5）有穷性
一个算法可以没有输入，但是必须有输出。
（二）算法与算法分析
程序=算法+数据结构，设计一个具有正确性、可读性、健壮性、高效率（执行速度快，时间复杂度低）和低存储（不费内存，空间复杂度低）的算法，再加上合适的数据结构，从而构成一个良好的程序。算法分析的目的是分析算法的效率以求改进。
（多选）设计一个″好″的算法应考虑达到的目标是（）。
A、可行性
B、健壮性
C、无二义性
D、可读性好的
解析：（B、D）
五、算法设计步骤
（1）算法描述
（2）数学模型选择
（3）算法的详细设计
（4）算法的程序实现和测试
（5）算法分析
六、算法的效率分析
（一）时间复杂度
1、时间复杂度的定义
时间复杂度是对算法运行时间的数量级，有两种度量方法，分别是事前分析估算法和事后统计法。通常，对一个算法的时间复杂度考察三个方面，即最好情况、平均情况和最坏情况，从而对应最好时间复杂度、平均时间复杂度和最坏时间复杂度，其中平均时间复杂度是指所有输入在等概率的情况下，该算法的期望运行时间，例如直接插入排序：
| 排序算法 | 空间复杂度 | 平均时间复杂度 | 最好时间复杂度 | 最坏时间复杂度 |
|---|---|---|---|---|
| 直接插入排序 | O(1) | O(n2) | O(n) | O(n2) |
最好情况下，即元素都有序，此时只需比较元素而不需移动元素，最好时间复杂度为O(n)，而最坏情况下，即排好的序列刚好与初始序列相反，呈逆序排列，则此时比较次数和移动次数都到达最大值，最坏时间复杂度为O(n2)，而考虑平均情况下，总的比较次数和移动次数约为n2/4，故直接插入排序的平均时间复杂度为O(n2)。
2、时间复杂度的规则
（1）常数规则
C为一个正常数，O[Cf(n)]=O[f(n)]。
（2）加法规则
O[f(n)]+O[g(n)]=O[max(f(n),g(n)]。
（3）乘法规则
O[f(n)]×O[g(n)]=O[(f(n)×g(n)]，例如下列代码：
count=0; //执行一次
for(k=1;k<=n;k*=2) //执行log2n次，变量k成倍数增加，呈现出log对数关系
for(j=1;j<=n;j++) //循环n次
count++;
第一行代码执行一次，根据加法规则，该程序的运行时间由for循环决定，假设最外层m次循环结束，则有2m+k=n，可得：m=log2n，所以执行执行log2n次，另外，内层for循环n次，根据乘法规则，所以该程序段的时间复杂度为O(n)=n×log2n=nlog2n。【变量k成倍数增加，呈现出log对数关系】
3、常见的时间复杂度的大小比较
时间复杂度为O(1) 常数阶算法的效率最高，而像O(2n) 、 O(n!) 、 O(nn)这类的算法的效率最低。
O(1) < O(log2n) < O(n) < O(nlog2n) < O(n2) < O(n3) < O(2n) < O(n!) < O(nn)
根据其图像，如下：
（二）空间复杂度
空间复杂度是指定义该算法所需要耗费的存储空间，根据其规模函数f(n)，可记为O[f(n)]，若算法需要的存储空间是常量，则其空间复杂度为O(1)。例如，由于快速排序代码中的递归进行需要栈来辅助，所以其需要的空间较大。其空间复杂度与递归层数（栈的深度）有关，为O(递归层数)：
若将n个要排序的元素组成一个二叉树， 这个二叉树的层数就是递归调用的层数（栈的深度）， 由于在n个结点的二叉树中，其最小高度=⌊ log2n⌋ （以2为底n的对数然后再向上取整，取比自己大的最小整数）， 其最大高度=n。
所以，可知最好情况下，即最小高度，为⌊ log2n ⌋，最好空间复杂度为O(log2n)；而最坏情况下，即最大高度，为n层，最坏空间复杂度为O(n)；故平均情况下，为O(log2n)。