数据结构学习笔记-树

树

基本概念：树是 $n(n>=0)$结点的有限集

1. 有且仅有一个特定的称为根的结点
2. 当 $n>1$时，其余结点可分为m个互不相交的有限集，每个集合都是一棵树，是根的子树。

其他概念：

1. 结点的度：子树的个数；
2. 树的度：树的节点中最大度
3. 叶节点（终端结点）：度为0的节点；而分支结点是度不为0的结点。
4. 树的深度：树所有结点中最大层次（根节点的层次为1）
5. 路径长度：结点个数-1，或者说是分支条数
6. 兄弟结点是父结点相同的结点
7. 森林是 $m(m>=0)$棵互不相交的树的集合

二叉树

二叉树是另一种树形结构，每个结点至多只有两棵子树，且有左右之分，需要注意的是，从树的概念衍生来的二叉树是可以为空树的。

性质

1. 在二叉树的第 $i$层上至多有 $2^{i-1}$个结点(i>=1)
2. 深度为 $k$的二叉树至多有 $2^k-1$个结点(k>=1)，由此，深度为 $k$且有 $2^k-1$个结点的二叉树是满二叉树；而完全二叉树是其 $n$个结点与满二叉树的 $n(n<=k)$个结点编号一致。
3. 对任何一棵二叉树T，若叶结点数为 $n_0$，度为2的结点数为 $n_2$，则 $n_0=n_2+1$。
4. 对于完全二叉树T，具有n个结点，其深度为 $log_2n+1$
5. 对于有 $n$个结点的完全二叉树，i为结点编号，如果 $i=1$则 $i$是二叉树的根，若 $i>1$则其双亲是 $i/2$(向下取整)；另外，如果 $2i>n$则 $i$无左孩子， $2i+1>n$则 $i$无右孩子

存储结构

1. 顺序存储，以数组下标表示结点编号，明显可以看出，如果树不为完全二叉树，则浪费了很多存储空间
2. 链式存储 分为数据域和左右指针域，链的头指针指向根节点，还有一种三叉链表，多加了一个指向双亲结点的指针。

二叉树的遍历和线索二叉树

遍历

1. 前序遍历 根结点-左子结点-右子结点
2. 中序遍历 左子结点-根结点-右子结点
3. 后序遍历 左子结点-右子结点-根结点
   三种遍历方式正好对应波兰式，中缀表达式和逆波兰式

bool PreOrderTraverse(BinTree T)
{
	if (!T)
		return 1;
	else
	{
		Visit(T->data);
		PreOrderTraverse(T->left);
		PreOrderTraverse(T->right);
	}
	return 1;
}

遍历算法的不同之处仅仅为访问结点的先后关系，其实递归执行过程是完全一样的，仿照递归执行状态中递归栈的变化可写出相应的非递归算法，若栈顶记录的指针非空，则遍历左子树将左指针入栈；若栈顶记录的指针为空，说明应当返回上一层，若从右子树返回，不必保存当前的根指针，直接修改指针即可。

bool InOrderTraverse(BinTree T)
{
	InitStack(s);
	BinTree p=T;
	while(p||!isempty(s))
	{
		if(p)
		{
			Push(s,p);
			p=p->left;
		}
		else
		{
			Pop(s,p);
			if(!Visit(p->data))
				return 0;
			p=p->r;
		}
	}
	return 1;
}