数据结构——最短路径问题

void BFS_MIN_Distance(MGraph G, int u)					//求顶点u到其他顶点的最短路径
{
	for (int i = 0; i < G.vexnum; ++i)					//d[i]表示从u到i结点的最短路径
	{	
		d[i] = INT_MAX;									//初始化最短路径
		path[i] = -1;									//最短路径从哪个顶点过来
	}
	d[u] = 0;
	visited[u] = true;
	Enqueue(Q, u);
	while (!isEmpty(Q))									//BFS算法主过程
	{
		Dequeue(Q, u);									//队头元素u出队
		for(int w=FirstNeighbor(G,u);w>=0;w=NextNeighbor(G,u,w))
			if (!visited[w])							//w为u的尚未访问的邻接结点
			{
				d[w] = d[u] + 1;						//路径长度+1
				path[w] = u;							//最短路径应该从u到w
				visited[w] = true;						//设已访问标记
				Enqueue(Q, w);							//顶点w入队
			}
	}
}

（3）代码解释

①需创建两个数组d[]、path[]分别代表最短路径和前驱顶点；

②由BFS算法改造而来。先对新增的两个数组进行初始化，再将BFS算法中的访问函数visit进行改造，变为：记录最短路径并更改访问顶点的前驱顶点；

（4）图示（以2顶点开始）

（5）补充

①如上图的例子，2到8的最短路径长度=d[8]=3；通过path数组可知，2到8的最短路径为：
2->6->7->8；

②这样生成的广度优先生成树一定是以2为根的，高度最小的生成树；

3.Dijkstra算法

（1）衍生

为解决BFS算法局限于不带权图的情况，对于带权图的最短路径，采用Dijkstra算法。

（2）示例

①初始：从V0开始，初始化三个数组信息如下：

其中，final数组标记各顶点是否已找到最短路径，初始化时，因为V0到V0的路径为0，也就意味着我们已经找到V0的最短路径，所以将final[0]标记为true；

dist数组标记最短路径长度，若能够找到一个暂时的最短路径长度，就标记为该长度，否则标记为∞；

path数组标记为路径上的直接前驱，初始化均为-1，V0没有直接前驱，就设为-1即可。

②第1轮：循环遍历所有结点，找到还没确定最短路径，且dist最小的顶点Vi，令final[i]=true；然后检查所有邻接自Vi的顶点，若其final值为false，则更新dist和path信息

首先能找到final为false中最小的dist顶点V4，令final[4]为true，即表示已经可以确定V4的最短路径为5，并且其直接前驱为V0；

判断邻接第一个final为false的V1，从V0到V4有一条长度为5的路径，而又可以找到一条V4到V1为3的路径，二者之和比最先得到的10要小，此时把dist[1]改为8，path[1]改为4；

判断邻接第二个final为false的V2，从V4到V2有一条长度为9的路径，加上V0到V4的5，可以暂时找到V2的最短路径为14，修改dist[2]=14，path[2]=4；

判断邻接第三个final为false的V3，从V4到V3有一条长度为2的路径，加上V0到V4的5，可以暂时找到V3的最短路径为7，修改dist[3]=7,path[3]=4；

③第2轮：与第1轮思路一样

首先能找到final为false中最小的dist顶点V3，令final[3]为true，即表示已经可以确定V3的最短路径为7，并且其直接前驱为V4；

判断邻接唯一一个final为false的V2，V3的最短路径为7，加上V3到V2的路径6，等于13，小于14，所以修改dist[2]=13,path[2]=3；

④第3轮：与第1轮思路一样

首先能找到final为false中最小的dist顶点V1，令final[1]为true，即表示已经可以确定V1的最短路径为8，并且其直接前驱为V4；

判断邻接唯一一个final为false的V2，V1的最短路径为8，加上V1到V2的路径1等于9，小于13，修改dist[2]=9,path[2]=1；

⑤第4轮：操作同上

此时没有final为false的顶点，算法结束。

（3）补充

①V0到V2的最短路径长度为dist[2]=9，且通过path[]可知，V0到V2的最短路径为V2<-V1<-V4<-V0;

②时间复杂度： $O(|V|^{2})$ ;

③对于负权值带权图，Dijkstra算法并不适用，如下：

4.Floyd算法

（1）衍生

求出每一对顶点之间的最短路径；

（2）算法思想

动态规划思想，将问题的求解分为多个阶段；对于n个顶点的图G，求任意一对顶点Vi->Vj之间的最短路径可分为如下几个阶段：

#初始：不允许在其他顶点中转，最短路径是？

#0：若允许在V0中转，最短路径是？

#1：若允许在V0、V1中转，最短路径是？

#2：若允许在V0、V1、V2中转，最短路径是？

......

#3：若允许在V0、V1、V2......Vn-1中转，最短路径是？

（3）例子

#初始：

#0：

#0判断完后（#1）：

#1判断完后（#2）：

#2判断完后，可由最终矩阵判断最短路径已经具体路径经过顶点：

（4）代码实现

//......准备工作,根据图的信息初始化矩阵A和path
for (int k = 0; k < n; k++)						//考虑以Vk作为中转点
{
	for (int i = 0; i < n; i++)					//遍历整个矩阵，i为行号，j为列号
	{
		for (int j = 0; j < n; j++)
		{
			if (A[i][j] > A[i][k] + A[k][j])	//以Vk为中转点的路径更短
			{
				A[i][j] = A[i][k] + A[k][j];	//更新最短路径长度
				path[i][j] = k;					//中转点
			}
		}
	}
}

（5）复杂度

①时间复杂度： $O(|V|^{3})$ ；

②空间复杂度： $O(|V|^{2})$ ；

（6）补充

①在找完整路径时，需对path矩阵进行彻底的分解才能找到最终的具体最短路径，如下：

②虽然Floyd算法可以解决带负权值的图，但不能解决带负权回路的图，如下：