数据结构与算法（C语言） | 图——最短路径

在网图和非网图中，最短路径的含义是不同的。

–网图是两顶点经过的边上权值之和最少的路径。

–非网图是两顶点之间经过的边数最少的路径。（可以理解为边上权值为1的图）

我们把路径起始的第一个顶点称为源点，最后一个顶点称为终点。所谓单源最短路径问题，就是从某一顶点v0 出发，找从它到图中其他各个顶点的最短路径。

–迪杰斯特拉算法（Dijkstra）：求解单源最短路径问题的算法

基本策略：按最短路径长度递增的次序求得各条最短路径。

假设求V0到V8的最短路径：

迪杰斯特拉算法并不是一子就求出了V0到V8的最短路径，而是一步步求出它们之间顶点的最短路径，过程中都是基于已经求出的最短路径的基础上，求得更远顶点的最短路径，最终得到要的结果。

#define MAXVEX	9
#define	INFINITY	65535

typedef	int	Patharc[MAXVEX];			// 用于存储最短路径下标的数组
typedef int	ShortPathTable[MAXVEX];		// 用于存储到各点最短路径的权值和

void ShortestPath_Dijkstar(MGraph G, int V0, Patharc *P, ShortPathTable *D)
{
	int v, w, k, min;
	int final[MAXVEX];		// final[w] = 1 表示已经求得顶点V0到Vw的最短路径
	
	// 初始化数据
	for( v=0; v < G.numVertexes; v++ )
	{
		final[v] = 0;				// 全部顶点初始化为未找到最短路径
		(*D)[V] = G.arc[V0][v];		// 将与V0点有连线的顶点加上权值
		(*P)[V] = 0;				// 初始化路径数组P为0
	}
	(*D)[V0] = 0;		// V0至V0的路径为0
	final[V0] = 1;		// V0至V0不需要求路径
	
	// 开始主循环，每次求得V0到某个V顶点的最短路径
	for( v=1; v < G.numVertexes; v++ )
	{
		min = INFINITY;
		for( w=0; w < G.numVertexes; w++ )
		{
			if( !final[w] && (*D)[w]<min )
			{
				k = w;
				min = (*D)[w];
			}
		}
		final[k] = 1;	// 将目前找到的最近的顶点置1
		
		// 修正当前最短路径及距离
		for( w=0; w < G.numVextexes; w++ )
		{
			// 如果经过v顶点的路径比现在这条路径的长度短的话，更新！
			if( !final[w] && (min+G.arc[k][w] < (*D)[w]) )
			{
				(*D)[w] = min + G.arc[k][w];	// 修改当前路径长度
				(*p)[w] = k;					// 存放前驱顶点
			}
		}
	}
}

另外的理解：

求最短路径步骤:

•初始时令 S={V0}, T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值

•若存在<V0,Vi>，为<V0,Vi>弧上的权值

•若不存在<V0,Vi>，为µ

•从T中选取一个其距离值为最小的顶点W，加入S

• 对T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值比不加W的路径要短，则修改此距离值

• 重复上述步骤，直到S中包含所有顶点，即S=V为止

迪杰特斯拉算法对比弗洛伊德算法：O（n^2）<O(n^3)

–迪杰特斯拉算法求的是一个顶点到所有顶点的最短路径，但弗洛伊德算法是求所有顶点到所有顶点的最短路径。

–弗洛伊德算法非常简洁优雅。

–Floyd(弗洛伊德)算法：

思想：逐个顶点试探法

步骤：

1.初始时设置一个n阶方阵，令其对角线元素为0，若存在弧<Vi,Vj>，则对应元素为权值；否则为µ。

2.逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间点后路径变短，则修改之；否则，维持原值。

3.所有顶点试探完毕，算法结束。

#define MAXVEX	9
#define INFINITY	65535

typedef int Pathmatirx[MAXVEX][MAXVEX];
typedef int ShortPathTable[MAXVEX][MAXVEX];

void ShortestPath_Floyd(MGraph G, Pathmatirx *P, ShortPathTable *D)
{
	int v, w, k;
	
	// 初始化D和P
	for( v=0; v < G.numVertexes; v++ )
	{
		for( w=0; w < G.numVertexes; w++ )
		{
			(*D)[v][w] = G.matirx[v][w];
			(*P)[v][w] = w;
		}
	}
	
	// 优美的弗洛伊德算法
	for( k=0; k < G.numVertexes; k++ )
	{
		for( v=0; v < G.numVertexes; v++ )
		{
			for( w=0; w < G.numVertexes; w++ )
			{
				if( (*D)[v][w] > (*D)[v][k] + (*D)[k][w] )
				{
					(*D)[v][w] = (*D)[v][k] + (*D)[k][w];
					(*P)[v][w] = (*P)[v][k];		
				}
			}
		}
	}
}

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