假设检验（四）（非参数假设检验）

在有些实际问题中，无法预知总体服从何种分布，而希望根据样本来检验对总体分布所提出的假设，或者想通过样本来检验对总体之间的关系所提出的假设。这一类问题就是非参数假设检验问题。非参数假设检验包括分布假设检验、相同性检验和独立性检验等。这里主要介绍分布假设检验。

分布假设检验

分布假设检验问题可表述为：设 $X_1,...,X_n$ 为总体 $X$ 的样本，欲据此样本检验假设
$$H_0:X的分布函数F=F_0$$ 这里 $F_0$ 是一个已知的分布函数，通常称 $F_0$ 为理论分布。

检验假设 $H_0$ 的基本思想是用样本 $X_1,...,X_n$ 去拟合 $F_0$。根据拟合的优良程度来推断假设 $H_0$ 成立与否。

把总体 $X$ 的所有可能值的集合 $S$ 分成 $r$ 个两两不相交的子集 $S_1,S_2,...,S_r$，当 $H_0$ 成立时，记
p i = P F 0 { X ∈ S i } , i = 1 , . . . , r p_i=P_{F_0}\{X\in S_i\},i=1,...,r pi​=PF0​​{ X∈Si​},i=1,...,r 又记
$$m_i=X_1,...,X_n落在S_i内的频数，i=1,2,...,r$$ 则 $(\frac{m_i}{n}-p_i{)}^2$ 刻画了样本落在 $S_i$ 内的频率与总体 $X$ 在 $S_i$ 内取值的概率的偏差。皮尔逊用 $(\frac{m_i}{n}-p_i{)}^2$ 的加权和 $$K_n=\sum _{i=1}^r\frac{n}{p_i}{\left(\frac{m_i}{n}-p_i\right)}^2=\sum _{i=1}^r\frac{(m_i-n{p}_i{)}^2}{n{p}_i}$$ 来刻画样本 $X_1,...,X_n$ 拟合 $F_0$ 的优度，并于 1900 年证明了如下的定理：

当假设 $H_0:X的分布函数F=F_0$ 成立时，$K_n$ 当 $n\to \infty$ 时具有极限分布 ${\chi }^2(r-1)$

通常称定理中的统计量 $K_n$ 为皮尔逊 ${\chi }^2$ 统计量。

$K_n$ 较小表示样本对 $F_0$ 拟合得好，$K_n$ 较大表示样本对 $F_0$ 拟合得不好，因此假设 $H_0$ 的拒绝域应取 W = { K n ≥ c } W=\{K_n\ge c\} W={ Kn​≥c} 的形式。对给定的水平 $\alpha$，查 ${\chi }^2(r-1)$ 分布表，得 ${\chi }_{\alpha }^2(r-1)$，由此可得检验规则：若 $K_n\ge {\chi }_{\alpha }^2(r-1)$，则拒绝 $H_0$，否则接受 $H_0$。

在分布假设检验中，有时只能假定理论分布的函数类型，其中还含有未知参数，即，要由样本 $X_1,...,X_n$ 检验假设
$$H_0:X的分布函数F=F_{\theta }$$ 这里 $F_{\theta }$ 是一个已知的分布类型，其中含有未知参数向量 $\mathbf{\theta }=({\theta }_1,...,{\theta }_k{)}^T$。

在这种情况下，当 $H_0$ 成立且 $n$ 充分大时，近似的有 $K_n\sim {\chi }^2(r-k-1)$，其中 $r$ 为分组的个数，$k$ 为 $\mathbf{\theta }$ 的维数（即分布中所含未知参数的个数），并且 $r>k+1$。于是可得修正后的检验规则：若 $K_n\ge {\chi }_{\alpha }^2(r-k-1)$，则拒绝 $H_0$，否则接受 $H_0$。

${\chi }^2$ 拟合检验具有许多优点。比如，无论总体 $X$ 是离散的还是连续的，无论总体 $X$ 是一维的还是多维的，也无论原假设的理论分布中是否含有未知参数，都适合用 ${\chi }^2$ 拟合检验 对总体的分布作假设检验。不过，它也存在不够精细的缺陷。

柯尔莫哥洛夫检验克服了 ${\chi }^2$ 拟合检验的这一缺陷，它能够真正检验出 $F$ 是否与某个已知分布 $F_0$ 处处相同。不过，它只适用于总体的分布函数为连续函数的情形，而且一般还要求假设中的理论分布不含未知参数。

参考文献

[1] 《应用数理统计》，施雨，西安交通大学出版社。