有趣的数学用示例来阐述什么是初值问题一

一、初值问题简述

在多变量微积分中，初值问题是一个常微分方程以及一个初始条件，该初始条件指定域中给定点处未知函数的值。在物理学或其他科学中对系统进行建模通常相当于解决初始值问题。

通常给定的微分方程有无数个解，因此我们很自然地会问我们要使用哪一个。要选择一种解决方案，需要更多信息。一些有用的特定信息是初始值，它是用于查找特定解决方案的有序对。

具有一个或多个初始值的微分方程称为初值问题。

一般规则是初值问题所需的初值数量等于微分方程的阶数。例如，如果我们有微分方程 ${y}^{\prime }=2x$ ，然后 $y\left(3\right)=7$ 是一个初始值，当这些方程放在一起时，就形成了一个初始值问题。

微分方程 $y^{{\prime }{\prime }}-3{y}^{\prime }+2y=4{e}^{x}$ 是二阶的，所以我们需要两个初始值。对于阶数大于1的初始值问题，自变量应使用相同的值。该二阶方程的初始值的一个示例是y $y\left(0\right)=2$ 和 ${y}^{\prime }\left(0\right)=-1$ 。这两个初值与微分方程一起构成初值问题。

这些问题之所以如此命名，是因为未知函数中的自变量通常是 $t$ ，代表时间。因此，值为 $t=0$ 代表问题的开始。

二、示例1

验证该功能 $y=2{e}^{-2t}+{e}^{t}$ 是初值问题的一个解 ${y}^{\prime }+2y=3{e}^{t},y\left(0\right)=3$ 。

对于满足初值问题的函数，它必须同时满足微分方程和初始条件。为了表明 $y$ 满足微分方程，我们首先计算 ${y}'$ 。

这给出了 ${y}^{\prime }=-4{e}^{-2t}+{e}^{t}$ ，接下来我们将两者替换 $y$ 和 ${y}'$ 代入微分方程左侧并化简：

$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }+2y\hfill & =\left(-4{e}^{-2t}+{e}^{t}\right)+2\left(2{e}^{-2t}+{e}^{t}\right)\hfill \\ & =-4{e}^{-2t}+{e}^{t}+4{e}^{-2t}+2{e}^{t}\hfill \\ & =3{e}^{t}.\hfill \end{array}$

这等于微分方程的右侧，所以使用 $y=2{e}^{-2t}+{e}^{t}$ 。

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接下来我们计算 $y\left(0\right)$ 。

$\begin{array}{cc}y\left(0\right)\hfill & =2{e}^{-2\left(0\right)}+{e}^{0}\hfill \\ & =2+1\hfill \\ & =3.\hfill \end{array}$

该结果验证了初始值。因此给定函数满足初值问题。

三、小结

在前面的示例中，初始值问题由两部分组成。第一部分是微分方程 ${y}^{\prime }+2y=3{e}^{x}$ ，第二部分是初始值 $y\left(0\right)=3$ 。这两个方程共同构成了初值问题。

一般来说也是如此。初值问题由两部分组成：微分方程和初始条件。

微分方程有一系列解，初始条件决定了 $C$ 。示例中微分方程的解族由下式给出 $y=2{e}^{-2t}+C{e}^{t}$ 。该解决方案系列如图 2 所示，其中对特定解决方案 $y=2{e}^{-2t}+{e}^{t}$ 进行了标记。

四、测试

对于c的任何值，函数 $y=ce^{-2x}+e^{-x}$ ，是方程的解 ${y}' + 2y = e^{-x}$ ，求c的值，对于该值，解满足初始条件 $y(3) = 10$ 。

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