一、问题描述
《Emmaus的信徒们》是17世纪荷兰大画家JanVermeer的名画。第二次世界大战后，荷兰安全机关开始追捕纳粹党徒。1945年5月29日，法国三流画家H.A.van Meegeren因通敌罪被捕。Meegeren供认卖给德国人的《Emmaus的信徒们》是他制作的赝品，当时荷兰当局认为他的供词是假的，目的是想逃脱通敌的罪名。
著名艺术史专家A.Bredius也证明说，那件《Emmaus的信徒们》是Vermeer的原作，该画当时已被Renbradt协会以17万美元买去。可是，仍有一部分人坚持认为《Emmaus的信徒们》是Meegeren制作的赝品。他们认为Meegeren因为自己在艺术界名气太小而极为不满，于是带着狂热的情绪临摹了这幅名画，以显示他比三流画家强。此事在当时轰动了全世界。
这样，对Meegeren卖给德国人的《Emmaus的信徒们》究竟是赝品还是Vermeer的原作，就不得而知，该案一直悬而未决。直到1967年，Carneigie-Mellon（卡内基-梅隆）大学的科学家们通过建立数学模型，并利用测得的一些数据，证实了上述所谓的名画确实是赝品，从而使这一悬案得以告破。那么，科学家们是怎样利用数学建模的方法来证实的呢？
众所周知，所有的绘画颜料中都含有放射性元素铅-210（210Pb）和镭-226（226Ra），而这两种重金属元素都会发生衰变，科学家们就是从这一点上找到了突破口。
二、模型假设
为了使问题明确具体，设是颜料中铅-210（210Pb）的含量，
是
时间内每克颜料中镭-226（226Ra）的衰变数量。
三、模型建立
利用著名物理学家卢瑟福的原子物理理论，可以建立下列微分方程模型（从这个例子可知数学很重要，但是解决具体问题也是需要其它学习的知识）：
由于镭-226的半衰期约为1600年，而现在仅对300年左右的时间感兴趣，因此可设镭-226保持常数r。
四、模型求解
求解上述微分方程的初值问题，关于初值问题可以参考下面链接。
https://skydance.blog.csdn.net/article/details/134898100
https://skydance.blog.csdn.net/article/details/134898100 https://skydance.blog.csdn.net/article/details/134914621https://skydance.blog.csdn.net/article/details/134914621 得方程的特解为：
其中和
可以用仪器直接测量出来，要求出
，只需要求出
和
即可。
下面先计算λ，令表示放射性元素铅的原子数，则有
解得
即
又已知铅的半衰期为22年，故得：
再来计算y0，由式，
得
如果这幅画是真品，应该有300年的历史，取，于是得
由于镭-226的衰变率，铅-210的衰变率
，故（借助数学软件可求）
五、模型应用
这个数太大了，与真实情况不符，因此可以证明Meegeren卖给德国人的《Emmaus的信徒们》是赝品。不仅这样，Carneigie-Mellon大学的科学家们利用上述方法，对其他有质疑的油画都作了鉴定，判断了真伪。
成功利用数学模型进行案件侦破的例子有很多，充分显示了数学模型强大的应用价值。