本来就这题目而言没必要写博客的，不过这个故事挺有意思的，所以还是记录一下。
据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。问题是，给定了和，一开始要站在什么地方才能避免被处决？Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。
其一般形式为：N个人围成一圈，从第一个开始报数，第M个将被杀掉，最后剩下一个，其余人都将被杀掉。
约瑟夫问题并不难，但求解的方法很多；题目的变化形式也很多。最容易想到的就是模拟杀人过程，代码如下：
int Josephus(int n, int m)
{
//vector<bool>a(n);
bool*a = new bool[n]();
int f = 0, t = 0, s = 0;
do
{
if (t == n)
t = 0;//数组模拟环状，最后一个与第一个相连
if (!a[t])
s++;//第t个位置上有人则报数
if (s == m)//当前报的数是m
{
s = 0;//计数器清零
cout << setw(3)<<t+1 << ' ';//输出被杀人编号（setw需要包含头文件iomanip）
a[t] = 1;//此处人已死，设置为空
f++;//死亡人数+1
if (f % 5 == 0)cout <<endl;
}
++t;//逐个枚举圈中的所有位置
} while (f != n-1);//直到所有人都被杀死为止
for (int i = 0; i < n; i++)
{
if (a[i] == 0)t = i+1;
}
return t;
}
int main()
{
int k = Josephus(41, 3);
cout << "最后剩下:" << k;
}不难发现，这其实是一个O(NM)时间复杂度的暴力解法，对于较大的MN来说效率极低。
想想，我们能否将其转化为递归问题呢？假设约瑟夫函数为f(n,m)，即n个人，每数m个人就杀掉一个人，返回值为最后剩下的那个人。问题就在于我们能否通过f(n-1,m)推出f(n,m)呢。
假设f(n-1,m)=k，要推出f(n,m)，我们之需要往f(n-1,m)的中再加一个人，那么加在什么位置呢？我们先假设加到n-1个人的后面，很明显我们需要将最后加进去的这个人，调整为第一次杀掉的那个人。那么f(n,m)这个函数第一个杀掉的人就是第m个位置的人，此时这个人在最后的位置，因此我们将其+m之后对n取余，与之对应的f(n-1,m)由k变为了（k+m）%n。
也就是说：
最终剩下一个人时的安全位置肯定为0，反推安全位置在人数为n时的编号
人数为1： 0
人数为2： (0+m) % 2
人数为3： ((0+m) % 2 + m) % 3
人数为4： (((0+m) % 2 + m) % 3 + m) % 4
于是有了如下的递推公式：
递归写法：
int f(int n, int m) {
if (n == 1)
return 0;
int k = f(n - 1, m);
return (m + k) % n;
}
时间复杂度O(N)，空间复杂度O(N)
迭代写法：
int f(int n, int m) {
int k = 0;
for (int i = 2; i != n + 1; ++i)
k = (m + k) % i;
return k;
}
时间复杂度O(N)，空间复杂度O(1)
