题目来源：http://noi.openjudge.cn/ch0406/1768/
1768:最大子矩阵
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描述
已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空(大小至少是1 * 1)子矩阵。
比如，如下4 * 4的矩阵
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
的最大子矩阵是
9 2
-4 1
-1 8
这个子矩阵的大小是15。
输入
输入是一个N* N的矩阵。输入的第一行给出N (0 < N <= 100)。再后面的若干行中，依次（首先从左到右给出第一行的N个整数，再从左到右给出第二行的N个整数……）给出矩阵中的N2个整数，整数之间由空白字符分隔（空格或者空行）。已知矩阵中整数的范围都在[-127,127]。
输出
输出最大子矩阵的大小。
样例输入
4
0 -2 -7 0 9 2 -6 2
-4 1 -4 1 -1
8 0 -2
样例输出
15
来源
翻译自Greater New York 2001 的试题
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思路
最大子段和的二维扩展
求n*(n+1)/2个最大子段和求最值
最大子段和 dp[i]: 子段[i,n)的和
dp[i] = max(dp[i+1] + arr[i], arr[i])
其中在求n*(n+1)/2个数组的时候有技巧：
如果把正常输入矩阵的每个元素，再计算n*(n+1)/2个行和，复杂度为O(n^4),
如果在输入的时候直接计算从第j列上从第0行到第i行的元素的和(mat[i][j])，那么第j列上从第i行到第k行的元素和就等于mat[k][j] – mat[i][j]，这样两次计算每次复杂度都是O(n^3).
优化的代码参见博文NOI 2.6 动态规划 1768:最大子矩阵
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代码
// 最大子段和的二维扩展
// 求n*(n+1)/2个最大子段和求最值
// 最大子段和 dp[i]: 子段[i,n)的和
// dp[i] = max(dp[i+1] + arr[i], arr[i])
#include<iostream>
#include<fstream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int NMAX = 105;
int mat[NMAX][NMAX] = {};
int arr[NMAX] = {};
int dp[NMAX] = {};
int max_seg(int *arr, int n) // 输入长度为n的数组arr，返回最大子段和（DP）
{
int i,mymax;
if (n==1)
{
return arr[0];
}
dp[n-1] = arr[n-1];
for (i=n-2; i>=0; i--)
{
dp[i] = max(dp[i+1]+arr[i], arr[i]);
}
mymax = dp[0];
for (i=1; i<n; i++)
{
mymax = max(dp[i], mymax);
}
return mymax;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
ifstream fin ("0406_1768.txt");
int n,i,j,k,l,ans,mymax;
fin >> n;
for (i=0; i<n; i++)
{
for (j=0; j<n; j++)
{
fin >> mat[i][j];
}
}
fin.close();
mymax = mat[0][0];
for (i=0; i<n; i++)
{
for (j=i; j<n; j++)
{
memset(arr, 0, sizeof(arr));
for (k=0; k<n; k++)
{
for (l=i; l<=j; l++)
{
arr[k] += mat[l][k];
}
}
ans = max_seg(arr,n);
mymax = max(ans,mymax);
}
}
cout << mymax;
return 0;
#endif
#ifdef ONLINE_JUDGE
int n,i,j,k,l,ans,mymax;
cin >> n;
for (i=0; i<n; i++)
{
for (j=0; j<n; j++)
{
cin >> mat[i][j];
}
}
mymax = mat[0][0];
for (i=0; i<n; i++)
{
for (j=i; j<n; j++)
{
memset(arr, 0, sizeof(arr));
for (k=0; k<n; k++)
{
for (l=i; l<=j; l++)
{
arr[k] += mat[l][k];
}
}
ans = max_seg(arr,n);
mymax = max(ans,mymax);
}
}
cout << mymax;
#endif
}