无穷小与无穷大详解

无穷小

定义

若函数 $f(x)$ 满足 $\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ (x\to \infty )\end{array}}{\lim }f(x)=0$，则称 $f(x)$ 为 $x\to x_0$（或 $x\to \infty$）时的无穷小

由定义可知无穷小的本质是一个函数，此函数在自变量的某一变化过程中函数值无限趋近于 $0$。无穷小并非一个很小的数

无穷小与极限的关系

$\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ (x\to \infty )\end{array}}{\lim }f(x)=A$ 的充分必要条件是 $f(x)=A+\alpha$，其中 $\alpha$ 为 $x\to x_0$（或 $x\to \infty$）时的无穷小

此定理由极限的加法法则易证

无穷小的比较

当 $x\to 0$ 时，$x$ 和 $x^2$ 都是无穷小，但是 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{x^2}=\infty$。因为在 $x\to 0$ 过程中，$x^2$ 趋于 $0$ 的速度比 $x$ 快

根据两个无穷小之比的极限的不同情况，反映了不同无穷小趋于 $0$ 的快慢程度

假设 $\alpha$，$\beta$ 为自变量的同一变化过程中的无穷小，根据 $\lim \frac{\alpha }{\beta }$ 的取值

• $0$：高阶无穷小
  • 若存在 $k>0$ 使 $\lim \frac{\alpha }{{\beta }^k}=c\ne 0$，则为 $k$ 阶无穷小
• 不为 $0$ 的常数：同阶无穷小
  • 若常数为 $1$，则为等价无穷小
• $\infty$：低阶无穷小

高阶无穷小

若 $\lim \frac{\alpha }{\beta }=0$ 则称“$\alpha$ 是比 $\beta$ 高阶的无穷小”，记作 $\alpha =o(\beta )$

低阶无穷小

若 $\lim \frac{\alpha }{\beta }=\infty$ 则称“$\alpha$ 是比 $\beta$ 低阶的无穷小”

若 $\alpha$ 是比 $\beta$ 的高阶无穷小，则 $\beta$ 是比 $\alpha$ 的低阶无穷小

同阶无穷小

若 $\lim \frac{\alpha }{\beta }=c\ne 0$ 则称“$\alpha$ 与 $\beta$ 是同阶的无穷小”

k 阶无穷小

若 $\lim \frac{\alpha }{{\beta }^k}=c\ne 0,k>0$ 则称“$\alpha$ 是关于 $\beta$ 的 $k$ 阶的无穷小”

等价无穷小

定义

若 $\lim \frac{\alpha }{\beta }=1$ 则称“$\alpha$ 与 $\beta$ 是等价无穷小”，记作 $\alpha \sim \beta$

性质

• 自反性：$\alpha \sim \alpha$
• 对称性：若 $\alpha \sim \beta$ 则 $\beta \sim \alpha$
• 传递性：若 $\alpha \sim \beta ,\beta \sim \gamma$ 则 $\alpha \sim \gamma$

常见等价无穷小

$x\to 0$ 时

• $\sin x\sim x$

  证明过程

  如图单位圆内有一角度 $x\in (-\frac{\pi }{2},0)\cup (0,\frac{\pi }{2})$
  

  由图可看出当 $x\to 0$ 时，始终有
  $S_{△AOB}<S_{扇形AOB}<S_{△AOC}$
  $\therefore \frac{1}{2}|\sin x|<\frac{1}{2}|x|<\frac{1}{2}|\tan x|$
  $\therefore |\sin x|<|x|<\frac{|\sin x|}{\cos x},\cos x>0$
  $\therefore \cos x<|\frac{\sin x}{x}|<1$
  $\therefore \cos x<\frac{\sin x}{x}<1,\frac{\sin x}{x}>0$
  $\because \underset{x\to 0}{\lim }\cos x=1$
  由夹逼准则知 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$
  $\therefore \sin x\sim x$

• $\tan x\sim x$

  证明过程

  $\because$
  $$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x\cos x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}\cdot \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\cos x}\\ & =1\end{array}$$
  $\therefore \tan x\sim x$

• $\arcsin x\sim x$

  证明过程

  $\because$
  $$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arcsin x}{x}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\arcsin x{)}^{\prime }}{(x{)}^{\prime }}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ & =1\end{array}$$
  $\therefore \arcsin x\sim x$

• $a^x-1\sim x\ln a$

  证明过程

  $\because$
  $$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x\ln a}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(a^x-1{)}^{\prime }}{(x\ln a{)}^{\prime }}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x\ln a}{\ln a}\\ & =1\end{array}$$
  $\therefore a^x-1\sim x\ln a$

  • $e^x-1\sim x$
  • $\ln (1+x)\sim x$

• $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$

  证明过程

  $\because$
  $$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{\frac{1}{2}{x}^2}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1-\cos x{)}^{\prime }}{(\frac{1}{2}{x}^2{)}^{\prime }}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}\\ & =1\end{array}$$
  $\therefore 1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$

• $(1+x{)}^a-1\sim ax$

  证明过程

  $\because$
  $$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^a-1}{ax}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{[(1+x{)}^a-1{]}^{\prime }}{(ax{)}^{\prime }}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a(1+x{)}^{a-1}}{a}\\ & =1\end{array}$$
  $\therefore (1+x{)}^a-1\sim ax$

定理

定理 1：充要条件
$\alpha \sim \beta$ 的充分必要条件为 $\beta =\alpha +o(\alpha )$

定理 2：等价替换
若 $\alpha \sim \beta ,\tilde{\alpha }\sim \tilde{\beta }$ 则 $\lim \frac{\alpha }{\beta }=\lim \frac{\tilde{\alpha }}{\beta }=\lim \frac{\alpha }{\tilde{\beta }}=\lim \frac{\tilde{\alpha }}{\tilde{\beta }}$

利用以上两个定理对于极限的求取很有帮助，如求极限 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x}{x+x^2+x^3}$
因为 $x=x+o(x)$，其中 $o(x)=x^2+x^3$
所以 $x\sim x+x^2+x^3$
所以 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x}{x+x^2+x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x}{x}=2$

无穷大

若函数 $f(x)$ 满足 $\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ (x\to \infty )\end{array}}{\lim }f(x)=\infty$，则称 $f(x)$ 为 $x\to x_0$（或 $x\to \infty$）时的无穷大

注意：$\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ (x\to \infty )\end{array}}{\lim }f(x)=\infty$（①式）是 $\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ (x\to \infty )\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty$（②式）和 $\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ (x\to \infty )\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$（③式）的统称。满足②③式其中之一必满足①式

由定义可知无穷大的本质是一个函数，此函数在自变量的某一变化过程中函数值无限趋近于 $\infty$。无穷大并非一个很大的数

无穷小与无穷大的关系

在自变量的同一变化过程中，

• 若 $f(x)$ 为无穷小，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷大
• 若 $f(x)$ 为无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷小

参考

[1] 高等数学同济大学数学系高等教育出版社上册