本篇内容为无穷小与无穷大。首先从字面意思理解一下,无穷大就是要多大有多大,无穷小就是要多小有多小。这么理解是对的,但是这里的“大”和“小”可能可我们平常的理解不太一样,比如:1000比-10000要大。在无穷小与无穷大的概念中,+∞和-∞都是无穷大,而无穷小则是0,不过是有条件的0。
无穷小
定义
α(x)为x的函数,当α(x)=0 (x->x0),称α(x)当x->x0时为无穷小。
注解:
- 无穷小是一个函数
- 无穷小是一个极限为0的函数
注意
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0是无穷小,但无穷小不一定是0;
结合概念注解,0作为常数函数是一个无穷小,以0为极限的函数都叫无穷小
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设α(x)≠0,那么α(x)是否为无穷小,与自变量的趋向有关,换句话说,只有在自变量x的特定趋向下令α(x)的极限为0,此时的α(x)才是无穷小;
比如α(x)=3(x-1)2,当x→1时α(x)是无穷小,当x→2时就不是无穷小
等价定义
对于任意的ε>0,,存在δ>0,当0<|x-x0|<δ时,|α(x)-0|<ε,即α(x)=0 (x→x0)
无穷小的常规性质
α(x)=0 (x→x0)下文简写为α→0;β(x)=0 (x→x0)下文简写为β→0;
1.α→0(x→x0),β→0(x→x0),则(α±β)→0(x→x0)
ε表示误差,具有任意性,可以理解为ε要多小有多小,那么2ε同样要多小有多小
2.α→0(x→x0),则kα→0(x→x0),k为常数
3.f(x)=A(x→x0),则f(x)可以表示为f(x)=A+α(α为f(x)与A的误差),α→0,(x→x0)
4.α→0,β→0,则αβ→0
无穷大
定义
对任意的M>0,存在δ>0,当0<|x-x0|<δ时,|f(x)|>M,称f(x)当x→x0时为无穷大。
记作
注解
- 此处与极限的定义进行比对。在极限中,给定一个要多小又多小的值,在去心邻域内存在小于该值的界限;无穷大的概念中,则是给定一个要多大又多大的值,在去心邻域内,存在大于该值的界限。
- 也可以理解为,对于一个函数,任取一个要多大有多大的值,该函数总能在一个范围内找到比该值更大的值。
- 此处只给出了x→x0时无穷大的概念,x→∞的概念可以结合前面极限的概念类推。
例题
例1
例2
无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大的关系在这只给一个性质
证明
还可以自己尝试从ε开始证明,此处不再证明
总结
本篇内容包括无穷小、无穷大、无穷小与无穷大的关系
- 无穷小:极限为0的函数被称为无穷小,一个函数是否为无穷小与自变量的趋向有关;0是一个特殊的无穷小。
- 无穷大:任意给一个要多大有多大的值,在函数的去心邻域中,总能找到比它更大的值。
- 无穷小与无穷大的关系:互为倒数。
预:极限的运算法则