DM@数理逻辑@命题公式及其赋值@真值表@公式分类

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DM@数理逻辑@命题公式及其赋值@真值表@公式分类

命题公式及其赋值

命题常项

• 简单命题是命题逻辑中最基本的研究单位,其真值式确定的,称为命题常项或命题常元
• 命题常项相当于初等数学中的常数(0,1)

命题变项

• 对应于初等数学中的变量,命题逻辑中有:取值1(真)或0(假)的变元称为命题变项或命题变元
• 用命题变项表示真值可以变换的陈述句
• 命题变项不是命题,其和命题常项的关系如同初等数学中变量与常量的关系

命题公式

合式公式(命题公式)

• 将命题变相用联结词和圆括号按一定逻辑关系联系起来的符号串,称为合式公式
• 单个命题变项是合式公式,且称为原子命题公式

限定基本联结词的合适公式的定义

• 当使用联结词集{ $\neg ,\vee ,\wedge ,\to ,\leftrightarrow$}时,合式公式定义(递归定义)为:
  1. 单个命题变项是合式公式
  2. 若$A,B$都是合式公式,则$(\neg A)$,$(A\vee B)$,$(A\wedge B)$,$(A\to B),(A\leftrightarrow B)$是合式公式.不妨称这几个公式为一层公式
  3. 有限次应用(2)中的方式形成的符号串是合式公式
• 合式公式也成为命题公式,简称公式
• Note:
  • 析取联结词$\wedge$不能省略不写
  • 任意两个不重叠的子公式都要有二元联结词($T$中的联结词)链接,例如$pq\to r$就不是合式公式,而$p\wedge q\to r$是合式公式

合式公式中的0和1

• 合适公式可以出现0,1它们分别视为$p\wedge \neg p$,$p\vee \neg p$;两种表示可以相互替换和解释

子公式

• 设$A$为合式公式,$B$是$A$中的一部分(子串),则称$B$是$A$的子公式

公式的层次定义

• 若公式$A$是单个命题变项,则$A$称为0层公式

• 设$B$是$n$层公式,则$A=\neg B$是$n+1$层公式

• 称设$B,C$分别是$i,j$层公式,且$n=\max (i,j)$,则$A=B\ast C$是$n+1$层的( ∗ ∈ T = { ∨ , ∧ , → , ↔ } *\in T=\{\vee,\wedge,\to,\leftrightarrow\} ∗∈T={ ∨,∧,→,↔})

  • 即,$A=B\wedge C$,$A=B\vee C$,$A=B\to C$,$A=B\leftrightarrow C$的层数是$1+\max (i,j)$

分层加括号

• 例如:$(\neg p\vee q)\to r$可以通过加括号处理,(对1层及上的子公式加括号)使得计数其层数更加容易:$(((\neg p)\vee q)\to r)$,可以看到,该公式的最深称括号有3层,各层如下
  • 0层:$p,q,r$,(我们通常对0层不感兴趣)
  • 1层:$\neg p$,
  • 2层:$\neg p\vee q$
  • 3层:$(\neg p\vee q)\to r$
• 例:$(\neg (p\to \neg q))\wedge ((r\vee s)\leftrightarrow \neg p)$,可以加括号为:$((\neg (p\to (\neg q)))\wedge ((r\vee s)\leftrightarrow (\neg p)))$;可见其有4层

命题公式的赋值和解释

• 设$p_1,\cdots ,p_n$是出现在公式$A$中的全部命题变项(公式$A$表示为$A(p_1,\cdots ,p_n)$),分别为这$n$个命题变项指定一个真值,称为对公式$A$的一个赋值或解释

• 写法:$p_1={\alpha }_1,\cdots ,p_n={\alpha }_n$可以简写为${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$

成真赋值@成假赋值

• 若指定一组值使得$A$为1,记为$A=1$,称这组值为$A$的成真赋值
  • 若$A=0$,则称这组值为$A$的成假赋值

公式的书写规范@括号的省略

• 为了方便起见,一层公式单独出现的时候,可以省略括号不写,
• 公式中不影响运算次序的括号也可以省去,例如$(p\vee q)\vee (\neg r)$可以简写为$p\vee q\vee \neg r$

真值表

• 反映公式$A$所有取值及其结果的表称为$A$的真值表

赋值方法数量

• $n$个命题变项(构成)的公式有$2^n$种不同的赋值方法
• 将$n$个命题变项(构成)的公式全体构成的集合记为$F(n)$,意味着$F(n)$中公式的真值表有$2^n$行

构造真值表

总体步骤是,列出$2^n$个不同的赋值,分别计算它们的真值,具体的操作如下:

1. 找出公式中所有的命题变项$p_1,\cdots ,p_n$,列出$2^n$个赋值
   • 赋值从$0\cdots 0$,按二进制加法加1生成下一个赋值,到$1\cdots 1$为止,恰好$2^n$个赋值
2. 公式层次分析:从低层次到高层的顺序分解公式的各个层次
3. 对应各个赋值计算各个层次的真值,那么最后一个层次的真值就是整个公式的真值

例:$(\neg p\wedge q)\to \neg r$

$pqr$	$\neg p$	$\neg r$	$\neg p\wedge q$	$(\neg p\wedge q)\to \neg r$
000	1	1	0	1
001	1	0	0	1
010	1	1	1	1
011	1	0	1	0
100	0	0	0	1
101	0	0	0	1
110	0	1	0	1
111	0	0	0	1

• 第1列是赋值,第2,3列是第一层子式,第3列示第3层子式,最后一列是整个公式的真值
  • 其中非首尾的各列是为了提高计算正确率的辅助列,并不是一个真值表必须的列
  • 第一列也可以看作是0层列,低层的列可以帮助计算高层的列,减少重复计算

公式分类

• 若$A$在所有赋值下取值均为真,则$A$称为重言式或永真式($A$的真值表最后一列全为1)
• 若$A$在它的所有赋值下取值均为假,则$A$称为矛盾式或永假式($A$的真值表最后一列全为0)
• 若$A$不是矛盾式,则$A$使可满足式,特别的,若至少存在一个成假赋值,则称$A$为非重言可满足式