数理逻辑—命题符号化及联结词

命题

命题的定义：

1. 能判断真假的陈述句为命题
2. 命题是具有唯一真值的陈述句

从以上两个定义可知，判断一个句子是否为命题，首先要看它是否为陈述句，然后在看它的真值是否唯一。

对命题有关概念的部分名词解释：

1. 命题的真值：即判断的可能结果，“真"与"假”
2. 真命题：真值为真的命题
3. 假命题：真值为假的命题
4. 真值的取值：即"真"或"假"其中之一

命题常项与变项

命题常项与变项的定义：
对于简单命题来说，当它的真值是确定的，就称该命题为命题常项(命题常元)；当它的真值是不确定的，就称该命题为命题变项(命题变元)。

简单命题(原子命题)的定义：
无法再分解为更简单陈述句的陈述句，即最简单的陈述句。例如:“２是素数”、“雪是黑色的”。

命题符号化与命题常项与变项举例：
为了方便表达，通常会使用英文小写字母来表示简单命题。
命题常项举例：

• $p$：2是素数.
• $q$：雪是黑色的.

此时的 $p$、 $q$就可以称为命题常项。
显然有，命题常项 $p$是真命题，命题常项 $q$是假命题。

命题变项举例：

• $p$： $x+y>5$

类似这种真值不确定的陈述句就称为命题变项，通常也用小写字母表示。但是需要注意的是，命题变项不是命题。

复合命题：

由简单命题用联结词联结而成的命题称为复合命题。复合命题是命题逻辑的主要研究对象。

例如：

1. 3不是偶数： $\lnot p$
2. 2是素数和偶数： $p\land q$
3. 他会说英语或日语： $p\lor q$
4. 若∠A与∠B是对顶角，则∠A等于∠B： $(p\land q)\to r$

联结词(逻辑运算符)

联结词的种类：

设有命题 $p$和 $q$，它们之间可用的联结词按优先级从高到第在表格中进行说明：

联结词	符号	名称	含义
否定词	$\lnot p$	非 $p$	表达对 $p$的否定
合取词	$p\land q$	$p$合取 $q$	表达 $p$且 $q$
析取词	$p\lor q$	$p$析取 $q$	表达 $p$或 $q$
蕴含词	$p\to q$	$p$蕴含 $q$	表达如果 $p$则 $q$
等价词	$p \leftrightarrow q$	$p$等价 $q$	表达 $p$当且仅当 $q$
与非词	$p\uparrow q$	$p$与 $q$的否定	$\lnot(p\land q)$
或非词	$p\downarrow q$	$p$或 $q$的否定	$\lnot(p\lor q)$

联结词的完备集(全功能集)

完备集的定义： 设 $S$是一个联结词集合，若任一真值函数都可以用仅含 $S$中的联结词的命题公式表示，则称 $S$为完备集(全功能集)

完备集：
$\{\lnot,\land,\lor\}$、 $\{\lnot,\land\}$、 $\{\lnot,\lor\}$、 $\{\lnot,\to\}$、 $\{\uparrow\}$、 $\{\downarrow\}$