数理逻辑—命题公式及其赋值与分类

由联结词和多个命题常项可以组成复合命题，若是有联结词和多个命题变项则可以组成命题公式。更具体的说，命题公式是由命题常项、命题变项、联结词、括号组成的特殊符号串，通常用大写字母表示。

命题公式的严格定义

1. 单个命题变项 $p,q,r,...$是命题公式
2. 多个命题公式通过联结词有限次的组合而成的符号串是命题公式

在命题逻辑中命题公式又称合式公式，简称为公式。

命题公式的层次

命题公式的层次是命题公式的重要概念之一，有利于描述命题公式的求解过程。

定义：

1. 若命题公式 $A$是单个命题常项或命题变项，则称 $A$是0层公式
2. 若命题公式 $A$是有其他命题公式通过联结词组合而成的。设组成 $A$的所以命题公式中层次最高命题公式的层次为 $n$，则称 $A$的层次为 $n+1$

命题公式的赋值(解释)及真值表

定义：
设 $A$为一个命题公式 $p_1,p_2,...,p_n$为 $A$中出现的所有命题变项，则给 $p_1,p_2,...,p_n$指定一组真值的行为，称为对 $A$的赋值(解释)。若指定的一组值使 $A$的值为真，则称这组值为 $A$的成真赋值；若使 $A$的值为假，则称这组值为 $A$的成假赋值。

一个含有命题变项的命题公式的真值是不确定的，只有对它的每个命题变项都用指定的命题常项代替后，其真值才唯一确定，命题公式也才能被称为一个命题。

含有 $n$个命题变项的命题公式共有 $2^n$组赋值。
将命题公式 $A$在所有赋值之下的取值情况列成表，则称该表为 $A$的真值表。构造真值表的步骤如下：

1. 将命题公式中的所有命题变项按从左到右的出现顺序列出(有脚标则按脚标顺序)
2. 将所有可能赋值赋给命题变项，从00…0开始，每次加１，直到11…1为止(即以二进制渐增的方式赋值)
3. 对应的每个赋值公式都计算出其命题公式各层次的值

举例：
列出命题公式 $\lnot (p\to q)\land q$的真值表

$p$	$q$	$p\to q$	$\lnot (p\to q)$	$\lnot (p\to q)\land q$
0	0	1	0	0
0	1	1	0	0
1	0	0	1	0
1	1	1	0	0

命题公式的分类

定义：
设 $A$为一个命题公式

1. 若 $A$在所有赋值下取值均为真，则称 $A$为重言式(永真式)
2. 若 $A$在所有赋值下取值均为假，则称 $A$为矛盾式(永假式)
3. 若 $A$至少存在一组成真赋值，则称 $A$是可满足式

根据在各种赋值下的取值情况，所有的命题公式都可以分为以上三类。并且根据定义我们可以知道，重言式一定是可满足式，反之不真。

举例：
求命题公式 $(p\land (p\to q))\to q$是哪种类型的命题公式。
解：画出真值表

$p$	$q$	$p\to q$	$p\land(p\to q)$	$(p\land (p\to q))\to q$
0	0	1	0	1
0	1	1	0	1
1	0	0	0	1
1	1	1	1	1

由真值表可知命题公式 $(p\land (p\to q))\to q$为一个重言式

真值函数

定义：
一个 $n(n\geqslant 1)$阶笛卡尔积 $\{0,1\}^n$到 $\{0,1\}$的函数称为一个 $n$元真值函数， $n$元真值函数 $F$记为 $F:\{0,1\}^n\to \{0,1\}$

$n$个命题变项的真值表实际上是给出 $\{0,1\}^n$到 $\{0,1\}$的一个对应关系，这就是真值函数。 $n$个命题变项，共有 $2^n$个可能的赋值。对于每个赋值，真值函数的函数值非０即１。于是 $n$个命题变项共可以组成 $2^{2^{n}}$个不同的真值函数。其中每一个真值函数都对应一个真值表，同时也对应着无穷个命题公式，这些公式彼此都是等值的，它们中的每一个都是这个真值函数的一个表达式。

例如，含有两个命题变项 $p,q$的真值函数共有１６个函数值。

$p$	$q$	$F_1$	$F_2$	$F_3$	$F_4$	$F_5$	$F_6$	$F_7$	$F_8$
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1

$p$	$q$	$F_9$	$F_10$	$F_11$	$F_12$	$F_13$	$F_14$	$F_15$	$F_16$
0	0		1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1