逻辑学学习.5--- 命题逻辑（三）：真值表

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一个符号化了的真值函项复合命题无论多么复杂，不外乎就是有五个基本的真值函项联结词联结而成，由五个基本的真值特征表，我们可以构造任何复杂的真值函项复合命题的真值表。

一个推论的有效性，等于它是一个重言蕴含式。

∧∨¬→ ↔

一，重言式，重言蕴含式

• 命题举例1 ：重言式
  （P∧Q→R）↔（P→（Q→R））

P	Q	R	（P	∧	Q	→	R）	↔	（P	→	（Q	→	R））
1	1	1		1		1		1		1		1
1	1	0		1		0		1		0		1
1	0	1		0		1		1		1		0
1	0	0		0		1		1		1		1
0	1	1		0		1		1		1		1
0	1	0		0		1		1		1		1
0	0	1		0		1		1		1		0
0	0	0		0		1		1		1		1

可见，主联结词↔总是真，这种总是真的命题叫做逻辑真理。

逻辑真理：一个命题是重言式，当且仅当，该命题在所有真值指派下都是真的。
学逻辑学，掌握逻辑真理很重要，掌握逻辑真理越多，说话出错的可能性越小。
实践是检验真理的标准，对逻辑来说不成立。逻辑不需要实践的检验，推论正确就永远正确。

• 命题举例2 ：重言蕴含式
  A↔B
  A→B
  （A↔B） → （A→B）

A	B	A↔B	A→B	(A↔B) → (A→B)
1	1	1	1	1
1	0	0	0	1
0	1	0	1	1
0	0	1	1	1

蕴含”→“的真值表，只有在前件真而后件假的时候才为假。
(A↔B) → (A→B) 没有出现前件真而后件假的情况，所以主联结词"→"的真值指派全部为真。这叫重言蕴含。
(A↔B) → (A→B) 的真值表也说明了等值关系“↔”也包含蕴含”→“关系

重言蕴含：P重言蕴含Q，当且仅当，在任何真值指派下，并非P真而Q假。
重言蕴含等于说，不会出现前件真而后件假的情况。
重言蕴含等于说，主联结词 ”→“ 最后的真值结果为重言式。

一个推论的最后（主联结词）就是一个蕴含式，所以一个有效的推论，就是一个重言蕴含式。
一个推论是有效的，当且仅当，在任何真值指派下，当前题为真时，结论一定为真。
一个推论是有效的，等于它是一个重言蕴含式。
一个重言蕴含式等于一个有效的推论。
证明一个推论的有效性，就等于证明它是一个重言蕴含式。

二，推论的一般模式

• 模式1：

  因为，所以

$\left.\begin{matrix} & P1\\ & P2\\ & ...\\ & Pn\\ & ∴C \end{matrix}\right\}$

• 模式2：

  如果，那么

  $P1∧ P2∧ ....∧Pn → C$

$P1,P2....Pn$ 为前提，C为结论。
一个推论是有效的，当且仅当，在任何真值指派下，它都不会出现前提真而结论假的情况。
也就是说，它相应的模式2是一个重言蕴含式。
一个有效的推论，联结词为”因为，所以“，则它是一个重言蕴含。

三，短真值表方法

只针对模式2（模式1）的推论，即主联结词是最后的一个联结词，为蕴含关系式 ”→"。
在蕴含关系式 ”→"中，只有前提真而结论假时，结论才为假。(参见 逻辑学学习.3— 符号化与真值表（一） ) 找出结论为假的那一行，看它是否成立，是否推出逻辑矛盾，如果推出逻辑矛盾，则“假”的结论不成立。就剩下全部都是”真“，那么它就是一个重言蕴含式。

命题举例

p→q
¬q
∴¬p

写成模式2
（p→q）∧¬q →¬p

假设前提真而结论假，看看是否成立：
前提的主联结词是∧,要求前提的主联结词∧为真，结论假，则要求结论¬p是假。
主联结词∧为真，要求左右两边都是真。则右边¬q为真，左边的（p→q），主联结词→为真。既然¬q为真，那么q为假，既然蕴含式为真，后件为假，那么前件也必须是假。(参见 逻辑学学习.3— 符号化与真值表（一） 最后的真值表，蕴含“→”列)。
于是出现矛盾，结论中¬p为假，推出前提要求p为假，矛盾。于是这种情况不可能存在。
所以推论的最后蕴含式“→”不存在为假的情况，证明它是一个重言蕴含式。

假设前提真而结论假，看是否成立

（p	→	q）	∧	¬q	→	¬p
			1		0	0
0/矛盾	1	0	1	1	0	0

结果推出矛盾，p在结论要求是真，在前提推出假。

参考资料

《自然演绎逻辑导论》 陈晓平

逻辑学学习.3— 符号化与真值表（一）