作者：禅与计算机程序设计艺术
1.简介
“Topological semimetals”是由C. Wei教授和Prof. Huang组成的团队在物理学、材料科学、天文学等多个领域进行研究，并取得了一系列重大突破性进展后，提出的一类化学体系。 自从其首次发表于2019年Nature Communications上，该团队陆续发现了7种具有独特的拓扑结构的新型二元材料，它们各不相同且高度非平衡，拥有无限多样化的局部晶格结构和精确的电子结构参数。这些材料将原本分散分布的原子粒子形成一定的连贯结构，使得它们既具有良好的宇宙学行为，又能够很好地解决复杂的多维物理问题。 自然界中的许多化合物都存在着“图论”或“拓扑”相关的基本性质，如金刚石、稀土等；而像刚果钢、铝、锌、镍等常见元素合金，由于其无限多样化的局部晶格结构和极大的不对称性，也具有这些性质。然而，如何理解这些材料的拓扑性质、研究它们的设计原理，仍是很多问题的关键难点。 而通过改善拓扑学的概念、提升拓扑研究的水平、建立计算机模型来模拟这些材料的拓扑结构，是摆在我们面前的巨大挑战。因此，我们希望借助这些已有的理论工具和方法，推动拓扑化学的发展。在此，我们提出了“Topological Semimetals: A Platform for Exploring Multiple Dimensions of the Fundamental Symmetries”，作为这一方向的第一步。
2.基本概念术语说明
2.1 拓扑拓扑学（Topology）
拓扑学研究的是系统中顶点和边的关系，即空间中元素之间的相互联系及其相互作用，是一个研究各种形式系统的重要分支。它涉及到系统的静态、动态、时变结构、空间结构、变化规律等方面的研究。拓扑学是现代数学的一个重要分支，在量子力学、热学、信息论、统计力学等领域都有重要的应用。 一般来说，拓扑学的研究对象可以是以下几类：
- 点集合：指研究对象是一组点或带有位置坐标的点集，例如圆周率中的小圆、费马小定理中的阿姆斯特朗点。
- 曲线、曲面：指研究对象是曲线或曲面上的点集。
- 区域、体积、群：指研究对象是具有拓扑特征的点集或集合的集合。
- 代数结构：指研究对象是某个代数空间的变分。
拓扑学的研究目标是，给出一个系统的点集，或集合族的某种拓扑结构或拓扑空间，从而描述系统中元素的相互作用及其分布规律。
2.2 Topological semimetals
Topological semimetals，也叫拓扑化学，指拥有独特拓扑结构、极高的单原子能级的化学体系。其基本的特征是在局部的晶体结构和微观结构之间存在一个二分界，从而保证了这种特殊的拓扑结构。目前，研究人员已经发现了数百种具有独特拓扑结构的二元材料。包括有刚果钢、铝锌铜镁等奇异结构，还有稀土金刚石，这些材料的拓扑结构既不同于晶格类材料，又与传统的金属类材料截然不同。而且，这些材料除了其拓扑结构之外，还会影响到它们的微观结构、功能性，甚至是物理性质。
据统计，截止到2020年，SCI期刊上关于拓扑化学的文章共计17万余篇，引用数量占其总文章数的约三分之一。其中，SCI期刊的文章主要集中在材料科学、材料工程、天文学、生物学等多个学科领域。其涵盖范围包括：单层、双层、多层、晶体、半导体、激光、电子、非金属、高性能、复合材料、纳米材料、机械、计算、数据分析等领域。
2.3 二元材料拓扑结构
将常见的化学元素的晶格结构排除之后，剩下的原子既不是均匀分布的，也没有中心位置固定的单个原子。因此，为了描述这些材料的拓扑结构，就需要考虑它们具有的拓扑相关的特征。以下是一些常见的拓扑相关特征。
2.3.1 分散性（Dispersion）
分散性是指不同类型或不同位置的原子之间存在微弱的差别。拓扑化学通过某些机制，把杂乱的离心受力场转化为固定的微扰度，从而形成了局部微晶格结构。根据不同的机制，分散性可以分为两类：温度膨胀分散性和季节分散性。
温度膨胀分散性Temperaturally Induced Dispersion
这种分散性依赖于温度的升降。当低温条件下，由于分子的位置扭曲导致的离心效应，使得分散的原子之间缺乏连续性，这样就会出现温度膨胀分散性。
次级分散Structure-Function Correlation Function (SFC)
这是一种结构函数，在无序系统中，其能量随着原子间距的增加而减少。结构-功能关系函数描述了一个无序系统的原子间距分布，能量随距离的增大而减小的曲线。通过结构-功能关系函数的测量，可以了解局部微晶格结构的构造，进而获取到非常精细的电子结构信息。
2.3.2 旋转不变性（Rotational Invariance）
由于拓扑结构的生成依赖于旋转，因此，具有旋转不变性的材料更容易生成有意义的拓扑结构。无论是环状还是聚合拓扑，都是由旋转不变性所驱动的。同样，还有根据周期性晶体结构来分类的四种类型：纠缠晶体、曲面晶体、环状晶体、自由晶体。
2.3.3 相对定位不变性（Relative Positional Invariance）
这种不变性表示一个空间区域内原子的相对位置是不变的。绝大多数的拓扑相关的不变性都遵循相对定位不变性，如位置不变性（Positional Invariance），差异性（Difference Invariance）。
位置不变性表示的是一个空间区域内原子的相对位置是不变的。这意味着任何两个原子的位置，在这个区域内都会保持一致，不会因原子之间的相互作用而改变。对于缺乏位置不变性的材料来说，原子之间的位置关联可以反映出它们的拓扑结构。
差异性则反映了另一种类型的拓扑不变性。一个空间区域内的原子的位置是不同的，但是仍然保持着相对定位的不变性。这类材料通常具有着丰富的微观结构，通过可区分的原子配对的方式可以观察到，不同原子之间的位置差异是比较小的。
2.3.4 混凝土与密度 functionalized polymers and density functional theory （DFT）
在具有拓扑结构的微晶中，不同的原子类型可能处在不同位置，但是不能任意移动。比如，金属表面经过层厚的交联，形成了具有独特拓扑结构的晶体。密度 Functionalized Polymer 和 Density Functional Theory (DFT) 就是用来分析这种表面型态的物理过程。DFT 模型假设了晶体中每个原子仅占据其所在的位置，不同类型的原子处在不同位置，不允许任意移动。通过数值模拟，就可以找出该类材料的拓扑结构。
2.4 Topology-based design of topological semimetals
拓扑化学的设计指的是制造具有拓扑特性的新型化学物品，而不是改变已有的化学体系。拓扑化学的设计有着严谨的制药、结构工程、光刻等领域的长期实践。拓扑化学的设计需要考虑到结构、性能、功耗等方面。以下是拓扑化学的设计流程：
拓扑匹配：首先选择某个理想的基准拓扑结构，通过拓扑优化等手段，使得制造出的材料具备同样的拓扑结构。
数据收集：收集相关的物理数据，如晶体截面比、功能性数据等。
设计规则：定义拓扑化学设计的规则，如晶体化学键的尺寸、凹槽大小、补隙宽度、热容等。
结构优化：通过结构优化技术，提升晶体的折叠、错位、错斩效应。
设备设计：用定制的设备来实现拓扑化学的性能。
材料验证：最后验证该型材料是否具有良好的性能。
3.核心算法原理和具体操作步骤以及数学公式讲解
3.1 Design principles and algorithms of topology matching
在设计拓扑化学之前，需要确定目标材料的拓扑结构、性能指标以及其他相关参数。对于二元材料来说，主要的设计任务可以分为两类：
3.1.1 Basic geometry optimization of unit cells
基本几何优化：一个拓扑化学单元通常包含几个基本单元，如氮核和氧原子。可以通过几何优化的手段调整这些基本单元的位置，来实现新的拓扑结构。基本几何优化一般采用以下几种方法：
(1) 基于拉普拉斯近似（Laplace approximation）的方法：将目标函数转换为方程组，然后求解得到每个基本单元的位置。
(2) 基于动力法的优化方法：根据原子之间的相互作用，确定每个基本单元的动量，然后最小化动能，优化得到新的位置。
(3) 使用随机梯度下降法或共轭梯度法的迭代优化方法：以初始位置为起始，通过随机梯度下降或共轭梯度法，不断更新基本单元位置，直到收敛。
3.1.2 Structure prediction using machine learning methods
机器学习方法：除了基本几何优化，还可以使用机器学习的方法预测新的拓扑结构。常用的机器学习方法包括神经网络（Neural network）、支持向量机（Support Vector Machine，SVM）、决策树（Decision Tree）、聚类分析（Cluster Analysis）。
机器学习方法预测新的拓扑结构，需要收集足够多的数据用于训练模型，并选择合适的模型结构。训练完成后，模型可以用来预测新的拓扑结构，并且可以使用反馈回路来校正预测结果。反馈回路包括两种方式，一是直接修正误差，二是利用数据重新训练模型。
3.2 Algorithm to compute structure function correlation functions (SFC)
SFC 是用来描述无序物质的结构，也是研究拓扑化学的一种重要工具。SFC 通过一组原子的距离关系计算结构功能关系曲线，描述了无序物质中不同原子间距的分布情况。
结构功能关系函数可以描述一个无序系统的原子间距分布，能量随距离的增大而减小的曲线。结构功能关系函数有很多应用，包括研究拓扑结构、计算拓扑能量等。
SFC 可以通过不同的算法来计算：
(1) Local structure function approach：局部结构功能方法，假设只有一部分原子参与相互作用，计算局部的结构功能关系。
(2) All atom structure function approach：全原子结构功能方法，考虑所有原子间的相互作用。
(3) Random walk based SFC algorithm：随机游走法，通过随机游走的方式，估计出原子间距的分布。
SFC 的数学表达式可以按照两种方式来写： $$\frac{\partial^2E}{\partial r^2}=\sum_{ij}\left[\frac{f_j}{r_ij}-\frac{f_i}{r_ji}\right]$$ 或者 $$E(\vec r)=\int dr_1 \cdots dr_{n-1}\sqrt[n]{\sum_{i=1}^n f_i|\vec r-\vec r_i|^{n/2}}$$
其中，$\vec r$ 为原子位置， $f_i$ 为原子 i 的原子函数。
3.3 Algorithm to generate non-equivalent configurations (NECs)
在实际制作拓扑化学物品时，为了保证性能的同时，尽量满足价格要求。因此，我们需要针对性的生产各种拓扑结构。非等价配置 NECs 可以有效的处理不等价结构生成的问题。NEC 是指特定拓扑结构下的无偏分布，也就是说，从某种起始构型转换到另一种构型的概率等于零。
NEC 生成算法有两种主要方法：
(1) 平移算法：通过随机移动原子的位置，生成新的拓扑结构。
(2) 插入算法：插入或删除原子，产生新的拓扑结构。