[bzoj2115][Wc2011] Xor——图论相关+线性基 大佬们的博客 Some Links

题目大意:

给定一个无向图,每条边有一个边权·,求从一条从1-N的路径上,使得所有在路径上的边的异或和最大。
边和点可以重复经过。

思路:

很好的一道题目。
题目要求路径从1-N,可以发现如果我们先取出一条直接地从1-N的路径的话,所有的路径都可以从这条路径拓展得到。
也就是将图中的各种环和这条路径进行边的异或(注意不是边权),发现异或出来的边的集合就是我们要计算答案的边的集合。
证明其实很简单:

  1. 首先环和环之间的相互异或可以形成一个大环,把中间相交的部分抵消了。
  2. 和直接路径有交边的环,和路径相互异或了之后中间的交边相互抵消,即不走这条路径了。
  3. 和路径没有交边的环,和路径异或了之后虽然不是连通的,但是可以看做中间相连的边重复走了两次抵消了。
    所以整个题目就是要把每个环的边权异或和都处理出来,然后放到线性基里求最大的即可。

    注意一点就是从1到N的路径的异或和是要赋作ans的初始的值的,是必须要异或上的,而我把它放到插入到线性基里了,所以答案就可能偏大。

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 * Author : ylsoi
 * Problem : bzoj2115
 * Algorithm : Linear Basis&DFS of Graph
 * Time : 2018.6.10
 * ====================================*/
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<climits>
using namespace std;
void File(){
    freopen("bzoj2115.in","r",stdin);
    freopen("bzoj2115.out","w",stdout);
}
template<typename T>bool chkmax(T &_,T __){return _<__ ? (_=__,1) : 0;}
template<typename T>bool chkmin(T &_,T __){return _>__ ? (_=__,1) : 0;}
#define REP(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;++i)
#define DREP(i,a,b) for(register int i=a;i>=b;--i)
#define MREP(i,x) for(register int i=beg[x];i;i=E[i].last)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define inf INT_MAX
const int maxn=5e4+10;
const int maxm=1e5+10;
int n,m,beg[maxn],cnt_edge=1;
ll b[70],sum[maxn];
bool vis[maxn];
struct edge{
    int to;
    int last;
    int from;
    ll va;
}E[maxm<<1];
void add(int u,int v,ll va){
    ++cnt_edge;
    E[cnt_edge].to=v;
    E[cnt_edge].last=beg[u];
    beg[u]=cnt_edge;
    E[cnt_edge].va=va;
    E[cnt_edge].from=u;
}
void insert(ll x){
    DREP(i,62,1){
        ll p=1ll<<(i-1);
        if(!(p&x))continue;
        if(!b[i]){
            b[i]=x;
            break;
        }
        x^=b[i];
    }
}
void dfs(int u,int fr){
    if(vis[u]){
        insert(sum[E[fr].from]^sum[u]^E[fr].va);
        return;
    }
    vis[u]=1;
    sum[u]=sum[E[fr].from]^E[fr].va;
    MREP(i,u){
        if(i==(fr^1))continue;
        int v=E[i].to;
        dfs(v,i);
    }
}
ll find_max(){
    ll ret=sum[n];
    DREP(i,62,1){
        if(!b[i])continue;
        ll p=1ll<<(i-1);
        if(!(p&ret))ret^=b[i];
    }
    return ret;
}
int main(){
    File();
    scanf("%d%d",&n,&m);
    REP(i,1,m){
        int u,v;
        ll va;
        scanf("%d%d%lld",&u,&v,&va);
        add(u,v,va);
        add(v,u,va);
    }
    dfs(1,0);
    printf("%lld\n",find_max());
    return 0;
}

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