《数据结构复习》树

复习概要：

了解树的概念和基本术语
掌握二叉树的概念，性质，分类
掌握二叉树的存储结构和遍历方式
熟悉二叉树的创建
了解线索二叉树与哈夫曼数

1，树

1.1 什么是树

树是由n个结点组成的一个具有层次关系的有限集合。

树中相关的概念：根，结点，叶子，孩子结点，兄弟节点，祖先结点，度，树的高度。

1.2 树的表示法

1，图形表示法

图像表示法就是通常看到的由圈圈和线组成的数。

2，广义表表示法

如：（A(B(E,F,G),C(H),D(I,J))）

3，左孩子右兄弟表示法

结点的左边是节点的子结点，右边是节点的兄弟节点，通常使用这种方法将树转化为二叉树

2，二叉树

2.1 什么是二叉树

二叉树具有两个基本的特征如下：

每个节点最多只能有两个孩子结点
二叉树是有序树，左子树和右子树次序不能颠倒，即使树中某个节点只有一颗子树，也要区分是左子树还是右子树。

2.2 二叉树的分类

根据二叉树中子节点的排布，可将二叉树分为非完全二叉树，完全二叉树和满二叉树。

2.3 二叉树的性质

在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点
深度为k的二叉树至多有2^k -1个结点
对于任何一颗二叉树，若度为2的结点数有n2个，则叶子节点数必定为n2+1个
具有n个节点的完全二叉树，它的深度必为[log2 n]+1
若对于完全二叉树中的节点从上至下，从左至右编号，则编号为i（1<=i<=n）的节点，其左孩子编号必为2i，其右孩子节点必为2i+1，其双亲编号必为i/2

3，二叉树的存储结构

3.1 二叉树的顺序存储

对于完全二叉树的顺序存储，可以根据角标推算出节点在二叉树中的位置。

对于一般二叉树的顺序存储，依据角标并不能推算出节点在二叉树中的位置，所以对于一般二叉树，存储方式是补全二叉树的顺序存储。

对于二叉树的顺序存储... 额实际中并不会这样存储，因为太麻烦了，了解一下就好

3.2 二叉树的链式存储

1，二叉树链表示法

使用二叉链表示树，通常树中的每个节点由三部分组成：数据域和左，右指针域。

结点的类型定义如下：

typedef struct BitNode
{
	DataType data;
	struct BitNode *lchild,*rchild;
}BitNode;
typedef struct BitNode *BiTree;

2，三叉链表示法

使用三叉链表示法，树中的每个节点教二叉链表示法多了父节点的指针，

节点的类型定义如下：

typedef struct BitNode
{
	DataType data;
	struct BitNode *lchild,*rchild;
        struct BitNode *parent;
}BitNode;
typedef struct BitNode *BiTree;

4，二叉树的遍历

遍历一颗二叉树有很多种方法。加入用D，L，R分别表示二叉树的根节点，左子树，右子树，那么要遍历这颗二叉树，方法就有6种：DLR,DRL,LDR,LRD,RDL,RLD。一般在遍历时遵循先左后有的原则，因此常用的遍历方法有三种：DLR。称为先序（根）遍历，LDR，称为中序（根）遍历。LRD，称为后序（根）遍历。

4.1 二叉树的遍历

如下图所示的一颗二叉树，该二叉树的先序遍历为ABFLDI，中序遍历为BLFAID，后序遍历为LFBIDA

5，二叉树与树，森林之间的转换

5.1 二叉树与树之间的转换

二叉树与树之间的转换实际上是将树转换成左孩子右兄弟二叉树。

5.2 二叉树与森林之间的转换

1，森林转换为二叉树

2，二叉树转换成森林

以上两个实质上都是左孩子右兄弟二叉树和树或森林之间的转换

6，二叉树的创建

在前面的复习中，二叉树都是静态创建的，但是这实际开发中，二叉树往往是动态创建的。常用的动态创建二叉树的方法有中序先序法和#号法。

6.1 中序和先序创建二叉树

创建一颗二叉树的方法有如下两种：

中序遍历结果和先序遍历结果一起可以确定一颗二叉树
终须遍历结果和后序遍历结果一起可以确定一颗二叉树

注意：即使结合先序遍历和后序遍历的结果也无法确定一颗二叉树的结构。因为这两种遍历结果结合只能求解出根，不能确定左子树什么时候结束，右子树什么时候开始。

根据中序遍历和先序遍历的结果确定二叉树的基本思路如下：

在谈论基本思路先，先思考二叉树的中序遍历和先序遍历结果中根节点和左子树，右子树的特征：

在先序遍历中，先遍历根节点，然后遍历左子树，再遍历右子树

在中序遍历中，先遍历左子树，再遍历根结点，再遍历右子树。

所以如上描述的一样，先序遍历的特征是（根节点（左子树的根节点+左子树的子节点）（右子树的根结点+右子树的其他接待你））。中序遍历的特征是(左子树，根节点，右子树)

故一般思路为

通过先序遍历找到根节点，在通过根接单在中序遍历的位置找到左子树，右子树
根据左子树在先序遍历结果的顺序，找到左子树的根节点，视左子树为一颗独立的树，转第一个步骤
根据右子树在先序遍历结果的孙旭，找到右子树的根节点，视右子树为一颗独立的树，转第一个步骤

6.2 #号法创建树

单独使用先序遍历结果无法唯一确定一颗二叉树，但如果用#号法，先序遍历结果就可以唯一确定一颗二叉树。

#号法是让每一颗树都变成度数为2的树，度不为2的节点就用#符号补全。

看个例子：如DFE###B##

7 线索二叉树

7.1 什么是线索二叉树

把执行前驱和后继的指针称为线索，带有线索的二叉链表称为线索链表，带有线索的二叉树称为线索二叉树。

线索二叉树的结点结构定义

typedef struct BitNode
{
	DataType data;
	struct BitNode *lchild,*rchild;
	int LTag;
	int RTag;
}BitNode,*Bithrtree;
typedef struct BitNode *BiTree;

7.2 二叉树的线索化

将二叉树变为线索二叉树的过程称为线索化。按某种次序将二叉树线索化的实质是：按该次序遍历二叉树，在遍历的过程中用线索取代空指针。按照遍历方式，线索化也可分为先序线索化，中序线索化和后序线索化。其中先序线索化瘀后序线索化要比中序线索化稍难

8 赫夫曼树

8.1 什么是赫夫曼树

在了解赫夫曼树之前，先了解几个术语：

路径：它是指从某一节点到另一个节点的线路
树的路径长度：是从树根到树中每一个结点的路径长度之和。
树的带权路径：节点到树根之间的路径长度与该结点上权值的乘积之和

赫夫曼树是以一种树的带权路径最短的二叉树