今天集训问错排是什么被hszx教练嘲讽了,痛下决心学一下竟然还挺简单的
错位排序递推公式:
设f[i]为i个数错位排序 (任意1<=i<=n a[i]!=i)
f[0]=1,f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]*f[i-2])*(i-1) (i>=2)
公式理解:
情况1:插入第i个元素时,前i-1个已经错位排好,则选择其中任意一个与第i个互换一定满足要求,选择方法共i-1种,前i-1位错排f[i-1]种,记f[i-1]*(i-1)
情况2:插入第i个元素时,前i-1个中恰有一个元素a[j]使得a[j]=j,其他i-2个错位排好,则将i与j交换,j在i-2位中的插入共i-1种,前i-2位错排f[i-2]种,记f[i-2]*(i-1)
以上两种情况求和可得
f[i]=(f[i-1]*f[i-2])*(i-1) (i>=2)
递推代码
long long cp[maxn]; inline void get_cp() { cp[0]=1ll; for(int i=2;i<=n;i++) cp[i]=(i-1)*(cp[i-2]+cp[i-1])%mod; }模板题:bzoj4517
附代码(写慢了,不预处理阶乘逆元能降一个log QAQ)
#include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; #define maxn 1000005 #define mod 1000000007 int n=maxn,m,T; long long stair[maxn]; long long invs[maxn]; long long cp[maxn]; long long ans[maxn]; inline long long qpow(long long b,long long t) { long long ans=1ll; while(t) { if(t&1) ans=(ans*b)%mod; t>>=1; b=(b*b)%mod; } return ans; } inline long long inv(long long x) { return qpow(x,mod-2); } inline void init() { stair[0]=1ll; invs[0]=1ll; for(int i=1;i<=n;i++) { stair[i]=stair[i-1]*i%mod; invs[i]=inv(stair[i]); } cp[0]=1ll; for(int i=2;i<=n;i++) cp[i]=(i-1)*(cp[i-2]+cp[i-1])%mod; } inline long long comb(int a,int b) { return stair[a]*invs[b]%mod*invs[a-b]%mod; } int main() { scanf("%d",&T); init(); while(T--) { scanf("%d%d",&n,&m); printf("%lld\n",comb(n,m)*cp[n-m]%mod); } }