从公式上理解PID

导言

pid在工业上的应用占90%以上。但许多没学过自动控制原理的小伙伴着实难以理解，所以我在这里尽我所能，用简单的高数知识给大家讲一些我自己的理解。由于pid在网上有许多可参考的资料，我这里重点分析pid控制器的稳态误差，这是我当时学习时最难理解的地方。据我所知，在其他对pid的介绍里几乎没有过对这方面的详细解释。所以我这里小谈一番。
如想深入了解pid控制器的原理，可参考自动控制原理。（根轨迹法最容易理解，如不必要，可只看时域法与根轨迹法）
本文只针对单位反馈的系统。
本文属个人理解，可能缺乏严谨性

基础知识

• 微分算子
  记 $\frac{d}{dt}=s$，则 $\int_{}^{} \, dx=\frac{1}{s}$。
  s即被称为微分算子。

• 算子表示微分方程
  微分方程 $\ddot{y}+3\dot{y}+2y=x$。
  用算子表示 $s^2y+3sy+2y=x$。
  则 $\frac{y}{x}=\frac{1}{s^2+3s+2}$，该式子表示了y与x的关系，即自控中的传递函数。

PID的公式推导

y为输出，x为输入。p,i,d分别为比例，积分，微分系数
$y=p*error(t)+i*\int_{}^{}\,error(t)dt+d*error'(t)$
$y=p(x-y)+i*\int_{}^{}\,(x-y)dt+d(x'-y')$
$y=p(x-y)+\frac{i}{s}(x-y)+ds(x-y)$
移向后，分离x，y，化简，则可求出输出与输入的关系 $\frac{y}{x}=\frac{ds^2+ps+i}{ds^2+（p+1）s+i}$

PID的误差分析

• P控制器：快速抵消干扰
  让i和d等于0，则 $\frac{y}{x}=\frac{p}{p+1}$。由上式可以看出，输入与输出是纯比例的关系，最终稳态时，输出 $y=\frac{xp}{1+p}$，则误差很容易算出 $error=x-y=\frac{x}{1+p}$，所以，但用p控制器必然存在误差，增大p可减小误差，但会降低系统的稳定性。仿真结果：
  
• PI控制器：消除p控制器的稳态误差(积分消除误差)
  即让d=0，则 $\frac{y}{x}=\frac{ps+i}{（p+1）s+i}$。因为s代表微分算子，微分乘以常数即为0。观察上式，在稳态时（s的一次及多次项为0）， $\frac{y}{x}=\frac{i}{i}=1$，即 $x-y=0$,无稳态误差。所以pi控制器无稳态误差和=，但如果i过大，同样不利于系统的稳定。仿真结果：
  
• PD控制器：提高系统快速性(微分可超前预测)
  即让i=0，则 $\frac{y}{x}=\frac{ds+p}{ds+p+1}$同上述方法，可算出pd控制器的稳态误差为 $\frac{xp}{1+p}$由于d控制器具有前瞻性，所以可适当调大p以减小稳态误差。故pd控制器提高了系统快速性，也减小了稳态误差，但稳态误差不能为0。仿真结果：
  
• PID控制器
  pid控制器即集合了i与d控制器的综合效果。消除了稳态误差的同时，又提高了快速性与响应能力。仿真结果：
  

结语

至于pid调参等内容也是很重要的，推荐大家利用matlab仿真，有助于理解。给出matlab代码：

clear,clc;
out=zeros(1,1000);
p=0.5;
i=0.0;
d=0.0;
error=zeros(1,2);
pout=0;
iout=0;
dout=0;
target=20;
for t=2:1000;
    error(2) = error(1);
    error(1) = target - out(t-1);
    
    pout = p(1) * error(1);
    iout = iout + i(1)* error(1);
    dout= d(1) * ( error(1) - error(2));
    
    out(t) = pout + iout + dout;
    
end
tt=1:1000;
plot(tt,out);