「程序员必须掌握的算法」动态规划「上篇」

动态规划详解

动态规划 (Dynamic Programming) 是一种算法思想，用于解决一些复杂的问题。本文将介绍动态规划的分类、概念和经典例题讲解。

动态规划的分类

动态规划可以分为以下两种类型：

1. 0/1背包问题：该问题是动态规划的一种基本类型。在背包问题中，有n个物品可以放入容量为W的背包中，每个物品有自己的重量和价值。需要选择哪些物品能够最大化背包的总价值。
2. 最长公共子序列问题：该问题是另一种经典的动态规划类型，涉及到两个字符串，并找到这两个字符串之间的最长公共子序列。

动态规划的概念

在解决动态规划问题时，我们需要定义以下概念：

1. 状态 (State)：问题中需要优化的变量，如背包问题中的容量，最长公共子序列问题中的字符串长度等。
2. 状态转移方程 (State Transition Equation)：描述状态之间的转移过程，即问题的递推关系。例如，在背包问题中，每个物品可以放入背包或不放入背包。因此，状态转移方程可以表示为：$$dp[i][j]=\max (dp[i-1][j],dp[i-1][j-w_i]+v_i)$$ 其中dp[i][j]表示在使用前i个物品时，填满j容量的背包的最大价值。
3. 初始状态 (Initial State)：问题的初始条件，通常为问题规模最小的情况下的答案。在背包问题中，初始状态为dp[0][0]=0。
4. 边界状态 (Boundary State)：问题的边界条件，在状态转移过程中需要特别处理的状态。在背包问题中，背包的容量不能为负数，因此需要在状态转移方程中特别处理。

经典例题讲解

下面我们将分别介绍0/1背包问题和最长公共子序列问题的解法。

1. 0/1背包问题

题目描述：有n个物品和一个容量为W的背包。第i个物品的重量为wi，价值为vi。现在，需要选择一些物品放入背包，使得放入的物品的总重量不超过W，且总价值最大。求最大价值。

解题思路：定义状态dp[i][j]为在使用前i个物品时，填满j容量的背包的最大价值。状态转移方程如下所示：$$dp[i][j]=\{\begin{array}{ll}dp[i-1][j],& j<w_i\\ \max (dp[i-1][j],dp[i-1][j-w_i]+v_i),& j\ge w_i\end{array}$$ 其中dp[i-1][j]表示不放入第i个物品的最大价值，dp[i-1][j-w[i]]+v[i]表示将第i个物品加入背包的最大价值。需要注意的是，如果当前背包容量小于物品的重量，就不能将该物品放入背包。因此，需要特别处理背包容量小于物品重量的情况。

代码实现：

int dp[101][1001];
int weight[101], value[101];

int knapSack(int n, int w)
{
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= w; j++) {
            if (j < weight[i]) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
            }
        }
    }
    return dp[n][w];
}

2. 最长公共子序列问题

题目描述：给定两个字符串A和B，找到它们的最长公共子序列 (LCS)。

解题思路：定义状态dp[i][j]为字符串A的前i个字符和字符串B的前j个字符的LCS长度。状态转移方程如下所示：

$$dp[i][j]=\{\begin{array}{ll}0,& i=0\text{或}j=0\\ dp[i-1][j-1]+1,& A_i=B_j\\ \max (dp[i-1][j],dp[i][j-1]),& A_i\ne B_j\end{array}$$

当A[i-1]等于B[j-1]时，dp[i][j]等于dp[i-1][j-1]+1，表示A和B中的相同字符加上它们前面的LCS。当它们不相等时，LCS为它们前面的LCS的最大值，即dp[i-1][j]和dp[i][j-1]的最大值。

代码实现：

int dp[1001][1001];
string A, B;

int LCS(int n, int m)
{
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            if (i == 0 || j == 0) {
                dp[i][j] = 0;
            } else if (A[i-1] == B[j-1]) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
            }
        }
    }
    return dp[n][m];
}

结语

动态规划是一种非常重要的算法思想，它通常用于解决复杂的问题。在应用动态规划解决问题时，需要注意定义状态、状态转移方程、初始状态和边界状态等概念。对于不同类型的动态规划问题，需要采用不同的解决方法。希望本文能够帮助读者加深对动态规划的理解。