「程序员必须掌握的算法」动态规划「中篇」

「程序员必须掌握的算法」动态规划「中篇」

在程序员的日常工作中，掌握各种算法是必不可少的。其中动态规划是常用的一种算法，在解决优化问题方面有着广泛的应用。本文主要介绍动态规划的中等难度内容，包括二维DP和数位DP。

二维DP

二维动态规划（DP）是指，用一个二维数组来表示状态，其中第一维表示选取到哪个元素，第二维表示当前选取的状态。这种方法在解决问题中，需要转移的状态比较复杂的情况下特别有用。

例题1：矩阵路径计数

题目描述：给定一个 $n\times m$ 的矩阵，从左上角走到右下角，一共有多少种走法。其中每次只能向右或向下走。

思路分析：定义状态 $d{p}_{i,j}$ 表示从 $(1,1)$ 走到 $(i,j)$ 的方案数，那么状态转移方程就可以定义为：$d{p}_{i,j}=d{p}_{i-1,j}+d{p}_{i,j-1}$，其中 $d{p}_{i-1,j}$ 表示从上面的位置走到 $(i,j)$，$d{p}_{i,j-1}$ 表示从左边的位置走到 $(i,j)$，两种情况的方案数相加即可得到从 $(1,1)$ 走到 $(i,j)$ 的方案数。特别地，当 $i=1$ 或 $j=1$ 时，只有一条路径，因此 $d{p}_{1,j}=d{p}_{i,1}=1$。

最后，返回 $d{p}_{n,m}$ 就是从左上角走到右下角的方案数。

int[][] dp = new int[n][m];
for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    
    dp[i][0] = 1;
}
for (int i = 0; i < m; i++) {
    
    
    dp[0][i] = 1;
}
for (int i = 1; i < n; i++) {
    
    
    for (int j = 1; j < m; j++) {
    
    
        dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
    }
}
return dp[n-1][m-1];

数位DP

数位DP是指，用一个数字的各个位数作为状态，来解决数字相关问题的一种算法。数位DP的思路是把数字拆开，按照位数逐位处理，求解每一位的方案数，最后组合得到最终的结果。

例题2：数字和为 $k$ 的数的个数

题目描述：给定两个正整数 $a$ 和 $b$，求满足 $a\le x\le b$，并且 $x$ 的所有数字之和等于 $k$ 的自然数的个数。

思路分析：我们可以用数位DP的方法来解决这个问题。和前面的例题一样，我们定义状态 $d{p}_{i,j,k}$ 表示当前处理到第 $i$ 位，数字和为 $j$ 的方案数。那么状态转移方程可以定义为：$d{p}_{i,j,k}=\sum _{d=0}^{9}d{p}_{i-1,j-d,k-1}$，其中 $d$ 表示当前处理到的数字，也就是第 $i$ 位的数字。那么 $d{p}_{i-1,j-d,k-d}$ 就表示前 $i-1$ 位数字和为 $j-d$，数字个数为 $k-1$ 的方案数，然后把所有 $d$ 的情况都累加到一起即可得到 $d{p}_{i,j,k}$ 的值。特别地，当 $i=0$ 且 $j=k=0$ 时，可以将此视为一个合法方案，即 $d{p}_{0,0,0}=1$。

下面，我们对数位DP的状态进行优化，因为对于一个数字 $n$，它的各个数位的数字之和最大为 $9$，因此 $d{p}_{i,j,k}=0$ 当 $j>9k$，即当前处理到第 $i$ 位，数字和大于 $9k$ 时可以直接跳过。另外，我们为了方便计算，可以将上限转化成字符串，比如将 $b=1234$ 转化为 $s="1234"$，然后逐位考虑，如果 $s_i<d$，那么当前数字不能取 $d$，下一位需要继续考虑，如果 $s_i=d$，那么当前数字可以取 $d$，下一位也需要继续考虑，如果 $s_i>d$，那么下一位可以任意填充数字，无需继续考虑。

在实现的时候，我们需要用一个 $sum$ 变量来记录当前数字的各个位数之和，把所有状态的方案数相加，得到最终的结果。

public int count(int n, int k) {
    
    
    int[][][] dp = new int[11][91][91];
    dp[0][0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 10; i++) {
    
    
        for (int j = 0; j <= 81; j++) {
    
    
            for (int l = 0; l <= 81; l++) {
    
    
                for (int d = 0; d <= 9; d++) {
    
    
                    if (j >= d && l >= d) {
    
    
                        dp[i][j][l] += dp[i - 1][j - d][l - d];
                    }
                }
            }
        }
    }
    int ans = 0;
    String s = String.valueOf(n);
    int[] num = new int[s.length() + 1];
    for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
    
    
        num[i + 1] = s.charAt(i) - '0';
    }
    for (int i = 1; i < num.length; i++) {
    
    
        for (int j = 0; j < num[i]; j++) {
    
    
            if (j <= k - ans - (num.length - i) * 9) {
    
    
                ans += dp[num.length - i][k - ans - j][(num.length - i) * 9 + j];
            }
        }
        if (num[i] > k - ans - (num.length - i) * 9) {
    
    
            break;
        }
        sum += num[i];
    }
    if (sum == k) {
    
    
        ans++;
    }
    return ans;
}

结语

本文主要介绍了动态规划的中等难度内容，包括二维DP和数位DP，并附有两道例题作为模版参考。通过实际运用和练习，相信读者可以更加深入地理解动态规划的思想和应用。