算法与数据结构面试宝典——数字编码

数字编码

原码、反码和补码

在上一节的表格中我们发现，所有整数类型能够表示的负数都比正数多一个，例如 byte 的取值范围是 $[-128,127]$ 。这个现象比较反直觉，它的内在原因涉及到原码、反码、补码的相关知识。

首先需要指出，数字是以“补码”的形式存储在计算机中的。在分析这样做的原因之前，我们首先给出三者的定义。

• 原码：我们将数字的二进制表示的最高位视为符号位，其中 $0$ 表示正数，$1$ 表示负数，其余位表示数字的值。
• 反码：正数的反码与其原码相同，负数的反码是对其原码除符号位外的所有位取反。
• 补码：正数的补码与其原码相同，负数的补码是在其反码的基础上加 $1$ 。

下图展示了原码、反码和补码之间的转换方法。

「原码 true form」虽然最直观，但存在一些局限性。一方面，负数的原码不能直接用于运算。例如在原码下计算 $1+(-2)$ ，得到的结果是 $-3$ ，这显然是不对的。

$$\begin{array}{rl}& 1+(-2)\\ & \to 00000001+10000010\\ & =10000011\\ & \to -3\end{array}$$

为了解决此问题，计算机引入了「反码 1’s complement code」。如果我们先将原码转换为反码，并在反码下计算 $1+(-2)$ ，最后将结果从反码转化回原码，则可得到正确结果 $-1$ 。

$$\begin{array}{rl}& 1+(-2)\\ & \to 00000001\text{(原码)}+10000010\text{(原码)}\\ & =00000001\text{(反码)}+11111101\text{(反码)}\\ & =11111110\text{(反码)}\\ & =10000001\text{(原码)}\\ & \to -1\end{array}$$

另一方面，数字零的原码有 $+0$ 和 $-0$ 两种表示方式。这意味着数字零对应着两个不同的二进制编码，其可能会带来歧义。比如在条件判断中，如果没有区分正零和负零，则可能会导致判断结果出错。而如果我们想要处理正零和负零歧义，则需要引入额外的判断操作，其可能会降低计算机的运算效率。

$$\begin{array}{rl}+0& \to 00000000\\ -0& \to 10000000\end{array}$$

与原码一样，反码也存在正负零歧义问题，因此计算机进一步引入了「补码 2’s complement code」。我们先来观察一下负零的原码、反码、补码的转换过程：

$$\begin{array}{rl}-0\to & 10000000\text{(原码)}\\ =& 11111111\text{(反码)}\\ =1& 00000000\text{(补码)}\end{array}$$

在负零的反码基础上加 $1$ 会产生进位，但 byte 类型的长度只有 8 位，因此溢出到第 9 位的 $1$ 会被舍弃。也就是说，负零的补码为 $00000000$ ，与正零的补码相同。这意味着在补码表示中只存在一个零，正负零歧义从而得到解决。

还剩余最后一个疑惑：byte 类型的取值范围是 $[-128,127]$ ，多出来的一个负数 $-128$ 是如何得到的呢？我们注意到，区间 $[-127,+127]$ 内的所有整数都有对应的原码、反码和补码，并且原码和补码之间是可以互相转换的。

然而，补码 $10000000$ 是一个例外，它并没有对应的原码。根据转换方法，我们得到该补码的原码为 $00000000$ 。这显然是矛盾的，因为该原码表示数字 $0$ ，它的补码应该是自身。计算机规定这个特殊的补码 $10000000$ 代表 $-128$ 。实际上，$(-1)+(-127)$ 在补码下的计算结果就是 $-128$ 。

$$\begin{array}{rl}& (-127)+(-1)\\ & \to 11111111\text{(原码)}+10000001\text{(原码)}\\ & =10000000\text{(反码)}+11111110\text{(反码)}\\ & =10000001\text{(补码)}+11111111\text{(补码)}\\ & =10000000\text{(补码)}\\ & \to -128\end{array}$$

你可能已经发现，上述的所有计算都是加法运算。这暗示着一个重要事实：计算机内部的硬件电路主要是基于加法运算设计的。这是因为加法运算相对于其他运算（比如乘法、除法和减法）来说，硬件实现起来更简单，更容易进行并行化处理，运算速度更快。

请注意，这并不意味着计算机只能做加法。通过将加法与一些基本逻辑运算结合，计算机能够实现各种其他的数学运算。例如，计算减法 $a-b$ 可以转换为计算加法 $a+(-b)$ ；计算乘法和除法可以转换为计算多次加法或减法。

现在我们可以总结出计算机使用补码的原因：基于补码表示，计算机可以用同样的电路和操作来处理正数和负数的加法，不需要设计特殊的硬件电路来处理减法，并且无须特别处理正负零的歧义问题。这大大简化了硬件设计，提高了运算效率。

补码的设计非常精妙，因篇幅关系我们就先介绍到这里，建议有兴趣的读者进一步深度了解。

浮点数编码

细心的你可能会发现：int 和 float 长度相同，都是 4 bytes，但为什么 float 的取值范围远大于 int ？这非常反直觉，因为按理说 float 需要表示小数，取值范围应该变小才对。

实际上，这是因为浮点数 float 采用了不同的表示方式。记一个 32-bit 长度的二进制数为：

$$b_{31}{b}_{30}{b}_{29}\dots b_2{b}_1{b}_0$$

根据 IEEE 754 标准，32-bit 长度的 float 由以下三个部分构成。

• 符号位 $\mathrm{S}$ ：占 1 bit ，对应 $b_{31}$ 。
• 指数位 $\mathrm{E}$ ：占 8 bits ，对应 $b_{30}{b}_{29}\dots b_{23}$ 。
• 分数位 $\mathrm{N}$ ：占 23 bits ，对应 $b_{22}{b}_{21}\dots b_0$ 。

二进制数 float 对应的值的计算方法：

$$\text{val}=(-1{)}^{b_{31}}\times 2^{{\left(b_{30}{b}_{29}\dots b_{23}\right)}_2-127}\times {\left(1.b_{22}{b}_{21}\dots b_0\right)}_2$$

转化到十进制下的计算公式：

$$\text{val}=(-1{)}^{\mathrm{S}}\times 2^{\mathrm{E}-127}\times (1+\mathrm{N})$$

其中各项的取值范围：

S ∈ { 0 , 1 } , E ∈ { 1 , 2 , … , 254 } ( 1 + N ) = ( 1 + ∑ i = 1 23 b 23 − i 2 − i ) ⊂ [ 1 , 2 − 2 − 23 ] \begin{aligned} \mathrm{S} \in & \{ 0, 1\}, \quad \mathrm{E} \in \{ 1, 2, \dots, 254 \} \newline (1 + \mathrm{N}) = & (1 + \sum_{i=1}^{23} b_{23-i} 2^{-i}) \subset [1, 2 - 2^{-23}] \end{aligned} S∈(1+N)=​{ 0,1},E∈{ 1,2,…,254}(1+i=1∑23​b23−i​2−i)⊂[1,2−2−23]​

观察上图，给定一个示例数据 $\mathrm{S}=0$ ， $\mathrm{E}=124$ ，$\mathrm{N}=2^{-2}+2^{-3}=0.375$ ，则有：

$$\text{ val }=(-1{)}^0\times 2^{124-127}\times (1+0.375)=0.171875$$

现在我们可以回答最初的问题：float 的表示方式包含指数位，导致其取值范围远大于 int 。根据以上计算，float 可表示的最大正数为 $2^{254-127}\times (2-2^{-23})\approx 3.4\times 10^{38}$ ，切换符号位便可得到最小负数。

尽管浮点数 float 扩展了取值范围，但其副作用是牺牲了精度。整数类型 int 将全部 32 位用于表示数字，数字是均匀分布的；而由于指数位的存在，浮点数 float 的数值越大，相邻两个数字之间的差值就会趋向越大。

如下表所示，指数位 $E=0$ 和 $E=255$ 具有特殊含义，用于表示零、无穷大、$\mathrm{NaN}$ 等。

表   指数位含义

指数位 E	分数位 $\mathrm{N}=0$	分数位 $\mathrm{N}\ne 0$	计算公式
$0$	$\pm 0$	次正规数	$(-1{)}^{\mathrm{S}}\times 2^{-126}\times (0.\mathrm{N})$
$1,2,\dots ,254$	正规数	正规数	$(-1{)}^{\mathrm{S}}\times 2^{(\mathrm{E}-127)}\times (1.\mathrm{N})$
$255$	$\pm \infty$	$\mathrm{NaN}$

值得说明的是，次正规数显著提升了浮点数的精度。最小正正规数为 $2^{-126}$ ，最小正次正规数为 $2^{-126}\times 2^{-23}$ 。

双精度 double 也采用类似 float 的表示方法，在此不做赘述。