HDU2035（附所用数论中的性质推导及快速模运算的递归形式）

Problem Description
求A^B的最后三位数表示的整数。
说明：A^B的含义是“A的B次方”

Input
输入数据包含多个测试实例，每个实例占一行，由两个正整数A和B组成（1<=A,B<=10000），如果A=0, B=0，则表示输入数据的结束，不做处理。

Output
对于每个测试实例，请输出A^B的最后三位表示的整数，每个输出占一行。

Sample Input
2 3
12 6
6789 10000
0 0

Sample Output
8
984
1

如下是取模运算的乘法运算法则
(ab)mod m=[(amodm)(bmodm)] mod m

取模运算还有两个公式
公式①：$a^{b+1}$mod m=[a·($a^b$mod m)] mod m
所以由公式迭代可得$a^{b+1}$mod m=[a·($a^b$mod m)] mod m=[a·( a·($a^{b-1}$mod m)mod m )] mod m=……
解法一正是用了这个迭代公式

证明①：不妨令a=km+h,故
$a^{b+1}$mod m=[(a mod m)·($a^b$mod m)]mod m
=[h·($a^b$mod m)]mod m
=[(km+h)·($a^b$mod m)]mod m
=[a·($a^b$mod m)]mod m

公式②：$a^b$mod m=$(amodm{)}^b$mod m

证明②：不妨令a=km+h,故
$a^b$mod m=$(km+h{)}^b$mod m
=$h^b$mod m=$(amodm{)}^b$mod m

解法一运用公式①（时间复杂度比快速模运算算法高）

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    
    
    long long base,exponential;//分别代表底数与指数
    while(cin>>base&&cin>>exponential&&base!=0&&exponential!=0){
    
    
        int result=1;
        for(int i=0;i<exponential;i++){
    
    
            result=base*result%1000;//运用了公式①
        }
        cout<<result<<endl;
    }
    return 0;
}

解法一的递归形式也特别容易给出

#include <iostream>
using namespace std;

int fastMod(int a,int n)
{
    
    
    if(n==0){
    
    
        return 1;
    }
    else{
    
    
        return (a*(fastMod(a,n-1)))%1000;
    }
}

int main()
{
    
    
    int a,n;
    cin>>a>>n;
    cout<<fastMod(a,n);
    return 0;
}

解法二：快速模运算
其与下面的快速幂运算的代码十分类似

int fastPower(int a,int n)
{
    
    
    int base=a;
    int result=1;
    while(n){
    
    
        if(n&1){
    
    
            result*=base;
        }
        base*=base;
        n>>=1;
    }
    return result;
}

快速模运算的原理：将b用二进制的方法表示后重复使用公式(ab)mod m=[(amodm)(bmodm)] mod m对$a^b$mod m进行展开.

例$a^5$%m的快速模运算求解过程

exponential	result=(result*base)%m	base=(base*base)%m
101	a%m	$a^2$%m
10	是0，result不变	[($a^2$%m)*($a^2$%m)]%m
1	{(a%m)* [($a^2$%m)*($a^2$%m) %m]} %m
0
exponential==0时结束了

此时result=={(a%m)* [($a^2$%m)*($a^2$%m) %m]} %m满足根据取模运算的乘法运算法则展开后得到的式子

如下是快速模运算此题代码

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    
    
    long long base,exponential;
    //优化：此处为了防止base太大，可根据公式②先对base进行一次取模运算，即base=base%1000;
    while(cin>>base&&cin>>exponential&&base!=0&&exponential!=0) {
    
    
        int result=1;
        while(exponential) {
    
    
            if(exponential&1) {
    
    //指数为奇数时
                result=(result*base)%1000;
            }
            exponential>>=1;//相当于exponential/=2;
            base=(base*base)%1000;
        }
        cout<<result<<endl;
    }
    return 0;
}

解法三：快速模运算的递归形式
其也与下面的快速幂运算的递归形式代码十分类似

int fastPower(int a,int n)
{
    
    
    if(n==1){
    
    
        return a;
    }
    if(n&1){
    
    
        return a*fastPow(a*a,n/2);
    }
    else{
    
    
        return fastPow(a*a,n/2);
    }
}

由取模运算的乘法运算法则分奇偶也易得快速模运算的递归形式代码

#include <iostream>
using namespace std;

int fastMod(int a,int n)
{
    
    
    if(n==0){
    
    
        return 1;
    }
    if(n&1){
    
    
        return (((fastMod(a,n/2))*(fastMod(a,n/2)))%1000*(a%1000))%1000;
    }
    else{
    
    
        return ((fastMod(a,n/2))*(fastMod(a,n/2)))%1000;
    }
}

int main()
{
    
    
    int a,n;
    cin>>a>>n;
    cout<<fastMod(a,n);
    return 0;
}