插值，不论在数学中的数值分析中，还是在我们实际生产生活中，都不难发现它的身影，比如造船业和飞机制造业中的三次样条曲线。那么，什么是插值呢？我们可以先看一下插值的定义，如下：
（定义）如果对于每个 1 ≤ i ≤ n , P ( x i ) = y i 1 \leq i \leq n,P(x_{i})=y_{i} 1≤i≤n,P(xi)=yi,则称函数 y = P ( x ) y=P(x) y=P(x)插值数据点 ( x 1 , y 1 ) , . . . , ( x n , y n ) (x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n}) (x1,y1),...,(xn,yn).
插值的定义无疑是清楚明了的，而在众多的数学函数中，多项式无疑是最简单，最常见的函数，关于它的理论研究也最为透彻。因此，我们可以不妨先考虑利用多项式来进行插值。那么，这样的多项式是否总是存在呢？答案是肯定的，因为我们有如下定理：
（多项式插值定理）令 ( x 1 , y 1 ) , . . . , ( x n , y n ) (x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n}) (x1,y1),...,(xn,yn)是平面中的 n n n个点，各 x i x_{i} xi互不相同。则有且仅有一个 n − 1 n-1 n−1次或者更低的多项式 P P P满足 P ( x i ) = y i , i = 1 , 2 , . . . , n . P(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n. P(xi)=yi,i=1,2,...,n.
**证明:**先用归纳法证明存在性，再证明唯一性。
当 n = 1 n=1 n=1时，常函数(0次) P 1 ( x ) = y 1 P_{1}(x)=y_{1} P1(x)=y1即符合要求。假设当 n − 1 n-1 n−1时存在一个次数 ≤ n − 2 \leq n-2 ≤n−2的多项式 P n − 1 P_{n-1} Pn−1,使得 P n − 1 ( x i ) = y i , i = 1 , 2 , . . . , n − 1. P_{n-1}(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n-1. Pn−1(xi)=yi,i=1,2,...,n−1.则令 P n ( x ) = P n − 1 ( x ) + c ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) . . . ( x − x n − 1 ) ( x − x n ) P_{n}(x)=P_{n-1}(x)+c(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n-1})(x-x_{n}) Pn(x)=Pn−1(x)+c(x−x1)(x−x2)...(x−xn−1)(x−xn)，其中 c c c为待定系数，利用 P n ( x n ) = y n P_{n}(x_{n})=y_{n} Pn(xn)=yn即可求出待定系数 c c c.此时， P n ( x i ) = y i , i = 1 , 2 , . . . , n , P_{n}(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n, Pn(xi)=yi,i=1,2,...,n,且 P n ( x ) P_{n}(x) Pn(x)的次数 ≤ n − 1 \leq n-1 ≤n−1.这样就证明了存在性。
其次证明唯一性。假设存在两个这样的多项式，设为 P ( x ) P(x) P(x)和 Q ( x ) Q(x) Q(x)，它们次数 ≤ n − 1 \leq n-1 ≤n−1且都插值经过 n n n个点，即 P ( x i ) = Q ( x i ) = y i , i = 1 , 2 , . . . , n . P(x_{i})=Q(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n. P(xi)=Q(xi)=yi,i=1,2,...,n.令 H ( x ) = P ( x ) − Q ( x ) H(x)=P(x)-Q(x) H(x)=P(x)−Q(x), H H H的次数也 ≤ n − 1 \leq n-1 ≤n−1，且有 n n n个不同的根 x 1 , x 2 , . . . , x n x_{1},x_{2},...,x_{n} x1,x2,...,xn.因此，由多项式基本定理可知， H ( x ) H(x) H(x)为0多项式，即恒等于0，故有 P ( x ) = Q ( x ) P(x)=Q(x) P(x)=Q(x).这样就证明了存在性。
证毕。
有了以上定理，我们可以放心地使用多项式进行插值，同时，通过上述定理，我们可以用归纳法来构造此多项式，但是，这样的方法难免复杂麻烦。于是，天才的法国数学家拉格朗日（Lagrange）创造性地发明了一种实用的插值多项式方法来解决这个问题，那么，他的方法是怎么样的？
一般来说，如果我们有 n n n个点 ( x 1 , y 1 ) , . . . , ( x n , y n ) (x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n}) (x1,y1),...,(xn,yn)，各 x i x_{i} xi互不相同。对于1到n之间的每个 k k k，定义 n − 1 n-1 n−1次多项式
L k ( x ) = ( x − x 1 ) . . ( x − x k − 1 ) ( x − x k + 1 ) . . . ( x − x n ) ( x k − x 1 ) . . ( x k − x k − 1 ) ( x k − x k + 1 ) . . . ( x k − x n ) L_{k}(x) = \frac{(x-x_{1})..(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})...(x-x_{n})}{(x_{k}-x_{1})..(x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})...(x_{k}-x_{n})} Lk(x)=(xk−x1)..(xk−xk−1)(xk−xk+1)...(xk−xn)(x−x1)..(x−xk−1)(x−xk+1)...(x−xn)
L k ( x ) L_{k}(x) Lk(x)具有有趣的性质： L k ( x k ) = 1 , L k ( x j ) = 0 , j ≠ k . L_{k}(x_{k})=1,L_{k}(x_{j})=0,j\neq k. Lk(xk)=1,Lk(xj)=0,j=k.然后定义一个 n − 1 n-1 n−1次多项式
P n − 1 ( x ) = y 1 L 1 ( x ) + . . . + y n L n ( x ) . P_{n-1}(x)=y_{1}L_{1}(x)+...+y_{n}L_{n}(x). Pn−1(x)=y1L1(x)+...+ynLn(x).
这样的多项式 P n − 1 ( x ) P_{n-1}(x) Pn−1(x)满足 P n − 1 ( x i ) = y i , i = 1 , 2 , . . . , n . P_{n-1}(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n. Pn−1(xi)=yi,i=1,2,...,n.这就是著名的拉格朗日插值多项式！
以上就是拉格朗日插值多项式的理论介绍部分，接下来我们就要用Python中的Sympy模块来实现拉格朗日插值多项式啦~~
实现拉格朗日插值多项式的Python代码如下：
from sympy import *
def Lagrange_interpolation(keys, values):
x = symbols('x')
t = len(keys)
ploy = []
for i in range(t):
lst = ['((x-'+str(_)+')/('+str(keys[i])+'-'+str(_)+'))' for _ in keys if _ != keys[i]]
item = '*'.join(lst)
ploy.append(str(values[i])+'*'+item)
ploy = '+'.join(ploy)
return factor(expand(ploy))
def main():
#example 1, interpolate a line
x_1 = [1,2]
y_1 = [3,5]
if len(x_1) != len(y_1):
print('The lengths of two list are not equal!')
else:
print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
print(Lagrange_interpolation(x_1,y_1))
#example 2, interpolate a parabola
x_2 = [0,2,3]
y_2 = [1,2,4]
if len(x_2) != len(y_2):
print('The lengths of two list are not equal!')
else:
print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
print(Lagrange_interpolation(x_2,y_2))
#example 3
x_3 = [0,1,2,3]
y_3 = [2,1,0,-1]
if len(x_3) != len(y_3):
print('The lengths of two list are not equal!')
else:
print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
print(Lagrange_interpolation(x_3,y_3))
main()
函数Lagrange_interpolation()具体实现了拉格朗日插值多项式，参数(keys, values)为list形式的点对，在main()函数中举了三个Lagrange_interpolation()函数的应用实例，一个是插值两个点，即直线，一个是插值三个点，即抛物线，一个是插值四个点，但结果却是一次多项式。该程序的运行结果如下：
def Lagrange_interpolation(keys, values):
x = symbols(‘x’)
t = len(keys)
ploy = []
for i in range(t):
lst = [‘((x-’+str()+‘)/(’+str(keys[i])+‘-’+str()+‘))’ for _ in keys if _ != keys[i]]
item = ‘‘.join(lst)
ploy.append(str(values[i])+’’+item)
ploy = ‘+’.join(ploy)
return factor(expand(ploy))
def degree_of_sum(k):
x_list, y_list = [], []
degree = k # degree=k in expression of 1k+2k+…+x^{k}
cul_sum = 0
for i in range(1,degree+3):
x_list.append(i)
cul_sum += i**degree
y_list.append(cul_sum)
return Lagrange_interpolation(x_list,y_list)
def main():
r = redis.Redis(host=‘localhost’, port=6379,db=0)
for k in range(1,51):
expression = str(degree_of_sum(k))
r.hset(‘sum_%s’%k,‘degree’,str(k))
r.hset(‘sum_%s’%k,‘expression’,expression)
print(‘Degree of %d inserted!’%k)
main()
运行以上程序，结果如下：
<center>
</center>
在Redis中的储存结果如下：
<center>
</center>
我们可以具体查看当$k=2$时的求和公式，如下：
<center>
</center>
  这样我们就介绍完了一个拉格朗日插值多项式的应用了。看了上面的介绍，聪明又机智的你是否能想到更多拉格朗日插值多项式的应用呢？欢迎大家交流哦~~
  新的一年，新的气象，就从这一篇开始~
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