广义模态控制
温馨提示：在阅读本文之前，读者最好具有一定的模态的相关知识，可以阅读笔者的另一篇博客模态反馈控制中的第1节来了解。
1. 模态及模态控制的思想
我们知道，系统的时域运动可以由以下方程表示：
x ( t ) = ∑ i = 1 n C i e λ i t = ∑ i = 1 n x i ( t ) x(t) = \sum _{i=1} ^n C_i e^{\lambda_i t} = \sum_{i=1} ^n x_i (t) x(t)=i=1∑nCieλit=i=1∑nxi(t)其中的 e λ i t e^{\lambda_i t} eλit即为极点 λ i \lambda_i λi对应的运动模态。
而模态控制，就是想办法向系统中添加期望的模态，或消除系统中的不良模态，以使系统达到期望的动态特性的控制方法。
2. 控制方法数学推导
设原系统的特征方程为
Δ 0 ( s ) = det ( s I − A ) = s n + ∑ i = 1 n − 1 a i s i (1) \Delta_0 ({\rm s} ) = \det \left( {\rm s} I - A \right) = {\rm s}^n + \sum_{i=1} ^{n-1} a_i {\rm s}^i \tag{1} Δ0(s)=det(sI−A)=sn+i=1∑n−1aisi(1)注意：式(1)为首一式，即第一项（最高幂次项）的系数为1。
相应地，系统的传递函数为
W 0 ( s ) = C T ( s I − A ) − 1 B = M 0 ( s ) Δ 0 ( s ) W_0 ( {\rm s} ) = C^{\rm T} \left( {\rm s} I - A \right)^{-1} B = \frac{M_0 ( {\rm s} )}{\Delta_0 ({\rm s} )} W0(s)=CT(sI−A)−1B=Δ0(s)M0(s)分母即式(1)所示，分子为
M 0 ( s ) = ∑ i = 1 m b i s i M_0 ( {\rm s} ) = \sum_{i=1} ^m b_i {\rm s}^i M0(s)=i=1∑mbisi一般地，对于实际系统来说，分子的阶次不会超过分母的阶次，即 m ≤ n m \leq n m≤n。
在系统的前向通路中，加入一个控制器 R ( s ) = Q ( s ) / P ( s ) R ( {\rm s} ) = Q ( {\rm s} ) / P ( {\rm s} ) R(s)=Q(s)/P(s)，其阶数为 ν \nu ν，即 deg P ( s ) = ν \deg P ( {\rm s} ) = \nu degP(s)=ν。对于实际系统来说，同样有分子阶次不超过分母阶次，即 deg Q ( s ) ≤ deg P ( s ) \deg Q ( {\rm s} ) \leq \deg P ( {\rm s} ) degQ(s)≤degP(s)。
将控制器 R ( s ) R ( {\rm s} ) R(s)表示为
R ( s ) = Q ( s ) P ( s ) = ∑ i = 0 ν q i s i s ν + ∑ i = 0 ν − 1 p i s i (2) R ( {\rm s} ) = \frac{Q ( {\rm s} )}{P ( {\rm s} )} = \frac{ \sum_{i=0} ^\nu q_i {\rm s}^i }{ {\rm s}^\nu + \sum_{i=0} ^{\nu-1} p_i {\rm s}^i } \tag{2} R(s)=P(s)Q(s)=sν+∑i=0ν−1pisi∑i=0νqisi(2)注意到这里的分母 P P P同样为首一式。
前向通路中加入控制器后，整个新系统的闭环传函可以立即写出：
W ( s ) = R ( s ) W 0 ( s ) 1 + R ( s ) W 0 ( s ) = M ( s ) Δ ( s ) = Q ( s ) P ( s ) M 0 ( s ) Δ 0 ( s ) 1 + Q ( s ) P ( s ) M 0 ( s ) Δ 0 ( s ) = Q ( s ) M 0 ( s ) P ( s ) Δ 0 ( s ) + Q ( s ) M 0 ( s ) (3) \begin{aligned} W ( {\rm s} ) &= \frac{ R ( {\rm s} ) W_0 ( {\rm s} ) }{1 + R ( {\rm s} ) W_0 ( {\rm s} ) } = \frac{M ( {\rm s} ) }{ \Delta ( {\rm s} ) } \\ &= \frac{ \frac{Q ( {\rm s} )}{P ( {\rm s} )} \frac{M_0 ( {\rm s} )}{\Delta_0 ({\rm s} )} }{1 + \frac{Q ( {\rm s} )}{P ( {\rm s} )} \frac{M_0 ( {\rm s} )}{\Delta_0 ({\rm s} )} } \\ &= \frac{Q( {\rm s} ) M_0( {\rm s} )}{P( {\rm s} ) \Delta_0( {\rm s} ) +Q( {\rm s} ) M_0( {\rm s} )} \tag{3} \end{aligned} W(s)=1+R(s)W0(s)R(s)W0(s)=Δ(s)M(s)=1+P(s)Q(s)Δ0(s)M0(s)P(s)Q(s)Δ0(s)M0(s)=P(s)Δ0(s)+Q(s)M0(s)Q(s)M0(s)(3)即
Δ ( s ) = P ( s ) Δ 0 ( s ) + Q ( s ) M 0 ( s ) , (3–1) \Delta ( {\rm s} ) = P( {\rm s} ) \Delta_0( {\rm s} ) +Q( {\rm s} ) M_0( {\rm s} ), \tag{3--1} Δ(s)=P(s)Δ0(s)+Q(s)M0(s),(3–1) M ( s ) = Q ( s ) M 0 ( s ) (3–2) M ( {\rm s} ) = Q( {\rm s} ) M_0( {\rm s} ) \tag{3--2} M(s)=Q(s)M0(s)(3–2)下面看式(3–1)和(3–2)的阶数。
对于式(3–1)来说：
deg Δ ( s ) = max { deg P ( s ) + deg Δ 0 ( s ) , deg Q ( s ) + deg M 0 ( s ) } \deg \Delta ( {\rm s} ) = \max \left\{ \deg P( {\rm s} ) + \deg \Delta_0( {\rm s} ), \quad \deg Q( {\rm s} ) + \deg M_0( {\rm s} ) \right\} degΔ(s)=max{
degP(s)+degΔ0(s),degQ(s)+degM0(s)}由于 deg P ( s ) = ν , deg Δ 0 ( s ) = n \deg P( {\rm s} ) = \nu, \deg \Delta_0( {\rm s} ) = n degP(s)=ν,degΔ0(s)=n，而 Q ( s ) Q( {\rm s} ) Q(s)与 M 0 ( s ) M_0( {\rm s} ) M0(s)均为分子，阶数分别不超过 ν \nu ν与 n n n，故
deg Δ ( s ) = n + ν = n ˉ (4) \deg \Delta ( {\rm s} ) = n + \nu = \bar n \tag{4} degΔ(s)=n+ν=nˉ(4)
设期望系统的特征方程为 Δ ∗ ( s ) \Delta ^* ( {\rm s} ) Δ∗(s)，那么只需要满足
Δ ∗ ( s ) = Δ ( s ) = P ( s ) Δ 0 ( s ) + Q ( s ) M 0 ( s ) (5) \Delta ^* ( {\rm s} ) = \Delta ( {\rm s} ) = P( {\rm s} ) \Delta_0( {\rm s} ) +Q( {\rm s} ) M_0( {\rm s} ) \tag{5} Δ∗(s)=Δ(s)=P(s)Δ0(s)+Q(s)M0(s)(5)即可。解式(5)，即可得到控制器的分子分母 P ( s ) , Q ( s ) P( {\rm s} ), Q( {\rm s} ) P(s),Q(s)。
3. 解的几个条件
- 式(5)解存在的充分必要条件是： Δ 0 ( s ) \Delta_0( {\rm s} ) Δ0(s)与 M 0 ( s ) M_0( {\rm s} ) M0(s)互质，且 n ˉ ≥ 2 n − 1 \bar n \geq 2n - 1 nˉ≥2n−1。
- 当 2 ν + 1 ≥ n ˉ 2\nu + 1 \geq \bar n 2ν+1≥nˉ时，式(5)有无穷个解；只有当 2 ν + 1 = n ˉ 2\nu + 1 = \bar n 2ν+1=nˉ时，式(5)有唯一解。
- 由1可以知，当且仅当 ν ≥ n − 1 \nu \geq n-1 ν≥n−1时，才能通过设置控制器 R ( s ) R ( {\rm s} ) R(s)使系统得到期望的极点分布。因此，控制器 R ( s ) R ( {\rm s} ) R(s)的最小阶次 ν 0 = n − 1 \nu_0 = n-1 ν0=n−1。
4. 举例计算
设原系统的传函为
W 0 ( s ) = k 0 s ( T s + 1 ) W_0 ({\rm s}) = \frac{k_0}{
{\rm s} \left( T{\rm s} + 1 \right) } W0(s)=s(Ts+1)k0为其设计模态控制器。
写出其分子分母（注意是首一式）：
Δ 0 ( s ) = s ( s + 1 T ) , M 0 ( s ) = k 0 T \Delta_0 ( {\rm s} ) = {\rm s} \left( {\rm s} + \frac{1}{T} \right), \qquad M_0 ( {\rm s} ) = \frac{k_0}{T} Δ0(s)=s(s+T1),M0(s)=Tk0原系统阶次 n = 2 n=2 n=2，则控制器的最小阶次为 ν 0 = n − 1 = 1 \nu_0 = n-1 = 1 ν0=n−1=1。这样总阶次为 n ˉ = n + ν = 3 \bar n = n + \nu = 3 nˉ=n+ν=3，即新系统中有3个期望极点。
假设新系统的3个期望极点为 λ 1 ∗ = − δ , λ 2 ∗ = λ 3 ∗ = − 2 δ \lambda_1^* = -\delta, \lambda_2^* = \lambda_3^* = -2 \delta λ1∗=−δ,λ2∗=λ3∗=−2δ（期望极点是人为设计的，根据系统的具体要求而进行的，而非根据系统表现测算的）。那么期望系统的特征方程为
Δ ∗ ( s ) = ( s + δ ) ( s + 2 δ ) 2 \Delta^* ( {\rm s} ) = \left( {\rm s} + \delta \right) \left( {\rm s} + 2\delta \right)^2 Δ∗(s)=(s+δ)(s+2δ)2另一方面，由于系统的控制器为一阶的（ ν 0 = 1 \nu_0 = 1 ν0=1），故可以设
P ( s ) = s + p 0 , Q ( s ) = q 1 s + q 0 P ( {\rm s} ) = {\rm s} + p_0, \qquad Q ( {\rm s} ) = q_1 {\rm s} + q_0 P(s)=s+p0,Q(s)=q1s+q0注意其中 P ( s ) P ( {\rm s} ) P(s)为首一式。
代入式(5)有
Δ ∗ ( s ) = Δ ( s ) = P ( s ) Δ 0 ( s ) + Q ( s ) M 0 ( s ) ⟹ \Delta ^* ( {\rm s} ) = \Delta ( {\rm s} ) = P( {\rm s} ) \Delta_0( {\rm s} ) +Q( {\rm s} ) M_0( {\rm s} ) \Longrightarrow Δ∗(s)=Δ(s)=P(s)Δ0(s)+Q(s)M0(s)⟹ s ( s + 1 T ) ( s + p 0 ) + k 0 T ( q 1 s + q 0 ) = ( s + δ ) ( s + 2 δ ) 2 {\rm s} \left( {\rm s} + \frac{1}{T} \right) \left( {\rm s} + p_0 \right) + \frac{k_0}{T} \left( q_1 {\rm s} + q_0 \right) = \left( {\rm s} + \delta \right) \left( {\rm s} + 2\delta \right)^2 s(s+T1)(s+p0)+Tk0(q1s+q0)=(s+δ)(s+2δ)2将括号展开，对应 s {\rm s} s不同阶次的系数，可以得到
{ p 0 + 1 T = 5 δ p 0 T + k 0 T q 1 = 8 δ 2 k 0 q 0 T = 4 δ 3 \begin{cases} p_0 + \frac{1}{T} = 5 \delta \\ \frac{p_0}{T} + \frac{k_0}{T} q_1 = 8 \delta^2 \\ \frac{k_0 q_0}{T} = 4 \delta^3 \end{cases} ⎩
⎨
⎧p0+T1=5δTp0+Tk0q1=8δ2Tk0q0=4δ3解得
{ p 0 = 5 δ − 1 T q 1 = 8 δ 2 T k 0 − 5 δ k 0 + 1 k 0 T q 0 = 4 δ 3 T k 0 \begin{cases} p_0 = 5\delta - \frac{1}{T} \\ q_1 = \frac{8 \delta^2 T}{k_0} - \frac{5\delta}{k_0} + \frac{1}{k_0T} \\ q_0 = \frac{4 \delta^3 T}{k_0} \end{cases} ⎩
⎨
⎧p0=5δ−T1q1=k08δ2T−k05δ+k0T1q0=k04δ3T则系统的控制器的传递函数为
R ( s ) = Q ( s ) P ( s ) = ( 8 δ 2 T k 0 − 5 δ k 0 + 1 k 0 T ) s + 4 δ 3 T k 0 s + 5 δ − 1 T = ( 8 δ 2 T 2 − 5 δ T + 1 ) s + 4 δ 3 T 2 k 0 T s + 5 δ k 0 T − k 0 R ( {\rm s} ) = \frac{Q ( {\rm s} )}{P ( {\rm s} )} = \frac{ \left( \frac{8 \delta^2 T}{k_0} - \frac{5\delta}{k_0} + \frac{1}{k_0T} \right) {\rm s} + \frac{4 \delta^3 T}{k_0} }{
{\rm s} + 5\delta - \frac{1}{T} } = \frac{ \left( 8 \delta^2 T^2 - 5\delta T + 1 \right) {\rm s} + 4 \delta^3 T^2 }{ k_0 T {\rm s} + 5\delta k_0 T - k_0 } R(s)=P(s)Q(s)=s+5δ−T1(k08δ2T−k05δ+k0T1)s+k04δ3T=k0Ts+5δk0T−k0(8δ2T2−5δT+1)s+4δ3T2