三位旋转的四元数方法
在上一节，我们知道了四元数是什么，一个四元数如何作用于一个向量，实现向量的旋转，接下来我们再进行简单的学习，如果理解困难，请出门左转传送至：四元数是什么？四元数有什么用？
四元数由一个标量部s和一个向量部v组成，可以看作一个有序对：
也可以把四元数看作高阶复数(区别于二维复数)，带有一个实部(标量部分)和三个复部（向量v的元素）。绕经过原点的任意轴旋转，可以通过建立有下列标量部和向量部的四元数来完成：
使用该四元数旋转的任意点P，可以用四元数符号表示为：
点的旋转由四元数运算来实现：
将指定q的向量部分写为v=(a,b,c)，可以获得复合旋转矩阵
即
通过用显式值取代a,b,c和s并使用下列三角恒等式化简有关项，可以大大减少该矩阵中的计算：
我们可以重写矩阵M为：
为了得到完整的绕任意指定旋转的变换序列，需要包括将旋转轴移动至坐标原点并回到其初始位置的变换，因此完整的变换为：
【实例】
将向量u设为单位z轴的向量(0,0,1)来完成一个空间三角形绕z轴旋转45°。观察投影平面为xy平面
#include<GL/glut.h>
#include<math.h>
#include<Windows.h>
#include<iostream>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
GLsizei winWidth = 600, winHeight = 600;
GLuint regHex;//显示表标识
/*设置世界坐标范围*/
GLfloat xwcMin = 0.0, xwcMax = 225.0;
GLfloat ywcMin = 0.0, ywcMax = 225.0;
class wcPt3d
{
public:
GLfloat x, y,z;
};
typedef GLfloat Matrix4x4[4][4];
Matrix4x4 matComposite;//3D变换复合矩阵
const GLdouble pi = 3.14159;
static void init(void)
{
//初始化函数，并加入表
glClearColor(1.0, 1.0, 1.0, 0.0);//设置为白色背景
}
void Matrix4x4SetIdentity(Matrix4x4 matIdent4x4)
{
//生成一个单位矩阵
GLint row, col;
for (row = 0; row < 4; ++row)
for (col = 0; col < 4; ++col)
{
matIdent4x4[row][col] = (row == col);
}
}
void matrix4x4Premultiply(Matrix4x4 m1, Matrix4x4 m2)
{
//矩阵的乘法，结果储存在M2中
GLint row, col;
Matrix4x4 matTemp;
for (row = 0; row < 4; ++row)
for (col = 0; col < 4; col++)
{
matTemp[row][col] = m1[row][0] * m2[0][col] + m1[row][1] * m2[1][col] + m1[row][2] * m2[2][col]+m1[row][3]*m2[3][col];
}
for (row = 0; row < 4; ++row)
for (col = 0; col < 4; col++)
{
m2[row][col] = matTemp[row][col];
}
}
void translate3D(GLfloat tx, GLfloat ty, GLfloat tz)
{
/*通过偏移量tx,ty产生平移矩阵matTransl之后，再通过矩阵的乘法，实现对象的平移*/
Matrix4x4 matTransl;//平移矩阵
Matrix4x4SetIdentity(matTransl);
matTransl[0][3] = tx;
matTransl[1][3] = ty;
matTransl[2][3] = ty;
/*矩阵乘法，平移*/
matrix4x4Premultiply(matTransl, matComposite);
}
void rotate3d(wcPt3d p1, wcPt3d p2, GLfloat theta)
{
Matrix4x4 matRot;//旋转矩阵
GLfloat axisVecLength = sqrt((p2.x - p1.x)*(p2.x - p1.x) + (p2.y - p1.y)*(p2.x - p1.x) + (p2.z - p1.z)*(p2.z - p1.z));
GLfloat cosTheta = cos(theta);
GLfloat oneC = 1 - cosTheta;
GLfloat sinTheta = sin(theta);
GLfloat ux = (p2.x - p1.x) / axisVecLength;
GLfloat uy = (p2.y - p1.y) / axisVecLength;
GLfloat uz = (p2.z - p1.z) / axisVecLength;
/*将旋转向量平移到原点*/
translate3D(-p1.x, -p1.y, -p1.z);
Matrix4x4SetIdentity(matRot);
matRot[0][0] = ux*ux*oneC + cosTheta;
matRot[0][1] = ux*uy*oneC - uz*sinTheta;
matRot[0][2] = ux*uz*oneC + uy*sinTheta;
matRot[1][0] = uy*uz*oneC + uz*sinTheta;
matRot[1][1] = uy*uy*oneC + cosTheta;
matRot[1][2] = uy*uz*oneC + uy*sinTheta;
matRot[2][0] = uz*ux*oneC - uy*sinTheta;
matRot[2][1] = uz*uy*oneC + ux*sinTheta;
matRot[2][2] = uz*uz*oneC + cosTheta;
matrix4x4Premultiply(matRot, matComposite);
translate3D(p1.x, p1.y, p1.z);//平移回原来的位置
}
void translate3d(GLint nverts, wcPt3d *verts)
{
//对象顶点与复合变换矩阵的乘法，得到坐标变换后的点
GLint k;
GLfloat temp;
for (k = 0; k < nverts; ++k)
{
temp = verts[k].x*matComposite[0][0] + verts[k].y*matComposite[0][1] + matComposite[0][2];
verts[k].y = verts[k].x*matComposite[1][0] + verts[k].y*matComposite[1][1] + matComposite[1][2];
verts[k].x = temp;
}
}
void triangle(wcPt3d *verts)
{
//输出一个空间三角形
GLint k;
glBegin(GL_TRIANGLES);
cout << "当前顶点坐标为：";
for (k = 0; k < 3; ++k)
{
glVertex3f(verts[k].x, verts[k].y,verts[k].z);
cout << verts[k].x << "," << verts[k].y <<","<<verts[k].z<< endl;
}
glEnd();
}
void displayFcn()
{
GLint nverts = 3;
wcPt3d verts[3] = { { 50.0, 25.0,0 }, { 150.0, 25.0 ,50}, { 100.0, 100.0,100 } };//定义一个三角形
GLdouble theta = pi / 4.0;//旋转45°
wcPt3d p1, p2;
p1.x = 0; p1.y = 0; p1.z = 0;
p2.x = 0; p2.y = 0; p2.z = 1;//定义旋转轴为(0,0,1)
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
glColor3f(0.0, 0.0, 1.0);
triangle(verts);//蓝色三角形为原始三角形
Matrix4x4SetIdentity(matComposite);
glColor3f(1.0, 0.0, 0.0);//红色为移动后的三角形
rotate3d(p1,p2, theta);//旋转
translate3d(nverts, verts);
glColor3f(1.0, 0.0, 0.0);//红色为移动后的三角形
triangle(verts);
glFlush();
}
void winReshapeFcn(int newWidth, int newHeight)
{
//窗口重定形函数
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();//将当前的用户坐标系的原点移到了屏幕中心：类似于一个复位操作
glOrtho(xwcMin, xwcMax, ywcMin, ywcMax,-55,0);
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
} int main(int argc, char**argv)
{
glutInit(&argc, argv);
glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);
glutInitWindowPosition(50, 50);
glutInitWindowSize(winWidth, winHeight);
glutCreateWindow("Example");
init();
glutDisplayFunc(displayFcn);
glutReshapeFunc(winReshapeFcn);
glutMainLoop();
return 0;
}
三位变换的其他变换类似于二维变换，可以自行学习，我们接下来学习三维观察