目录
前言
数据拟合是指已知有限个数据点，求逼近这些数据点近似函数，因此该函数可以不经过已知数据点，只要求该函数在这些点上的总偏差最小。基于多项式曲线的路径规划时，通过构造边界条件并利用多项式函数规划光滑的路径，由于经过了首末端点，可以将其视为插值。然而，利用多项式函数进行插值时，随着多项式的阶数增大，插值结果会越偏离原函数，我们称之为龙格现象（Runge Phenomenon）。
一、龙格现象
龙格现象由德国数学家Carl Runge于1901年发现，他在发表关于高次多项式插值风险的研究结果中给出了一个简单的函数
上式称为龙格函数，该函数有一个比较反常的性质：随着多项式函数插值的阶数越高，插值误差反而变大。
为便于直观理解，我们在[-1，1]区间按照0.1的间隔将将龙格函数的散点绘制出来，并利用MATLAB的polyfit函数分别用5次多项式、9次多项式、14次多项式及16次多项式进行拟合（MATLAB的polyfit函数特指利用多项式曲线对有限个散点进行拟合，本文用拟合代替插值，下文所得结论不变），结果如下图1所示。
由图1可知，当多项式的次数较低时，与散点的全局拟合效果较差；随着多项式次数增大，散点的局部拟合效果非常好，但是在靠近-1和1这两个端点时有较大振荡，上述现象表明使用高次多项式拟合并不总是能提高准确性。随着多项式阶次的增加，以这种方式产生的多项式实际上可能偏离，通常发生在靠近插值点的端点。
二、如何避免龙格现象？
为了避免出现高阶多项式拟合时出现的龙格现象，通常使用多段样条曲线对散点进行插值。实际上，在上一节的B样条曲线中，我们已经接触过多段样条曲线进行插值的思想，B样条曲线通过基函数和节点向量的作用机制，一段完整的B样条曲线就是由若干段阶数更低的样条曲线首位相连而成。样条函数属于分段光滑插值，其基本思想是在由两个相邻的型值点所构成的每一个小区间内用低次多项式来逼近，并且在各型值点的连接处又保证是光滑的（即导数连续）。