插入排序及优化
插入排序算法
在了解如何改进插入排序之前，我们先要了解插入排序的基本算法：
算法讲解
插入排序对于少量元素的排序，是一个有效的算法 。
插入排序是一种简单的排序方法，它是将一个数据插入到已经排好序的有序数组，从而形成一个新的有序数组。
插入排序的工作方式像许多人排序扑克牌：
我们每次从桌子上拿走一张牌并将其插入到手中正确的位置。
为了找到它的正确位置，我们从右到左将它与手中的每张牌进行比较。
因此，手上的牌总是有序。
数据模拟
原本要排序的数为 5 3 4 2 9 1，从小到大排序。
3 5 4 2 9 1 // 将3放到合适的位置（5前面）
3 4 5 2 9 1 // 将4放到合适的位置（3、5中间）
2 3 4 5 9 1 // 将2放到合适的位置（最前面）
2 3 4 5 9 1 // 将9放到合适的位置（最后面）
1 2 3 4 5 9 // 将1放到合适的位置（最前面）
排序结束！！！
代码
#include <iostream>
using namespace std;
int n,a[2000]; //定义数据个数n，排序数组a
int main()
{
cin >>n; //输入个数
for (int i=1;i<=n;i++)
cin >>a[i]; //输入数据
for (int i=2;i<=n;i++) //第一个数本身只有一个元素，所有有序，因此不用参与排序
{
int j,k=a[i]; //记录下当前元素
for (j=i-1;j>0;j--)
{
if (a[j]>k) //若前面一个数大于当前元素
a[j+1]=a[j]; //则将前面一个元素往后移动
else
break; //否则：说明当前元素已经找到了合适的位置，推出循环
}
a[j+1]=k; //将当前元素放入数组的合适的位置
/* 输出排序的过程
for (int j=1;j<=n;j++)
cout <<a[j] <<" ";
cout <<endl;
*/
}
for (int i=1;i<=n;i++)
cout <<a[i] <<" "; //输出排序好的数组
return 0;
}
优化思路
我们发现，插入排序的过程浪费在了查找合适的位置上，那么怎么优化呢？
我们知道，插入排序一直在维护 前 i i i个数是有序的，那么如何快速在有序的数列中查找一个小于（或大于）自己的数呢？
一、二分查找
二分！！！！
那么这样我们就讲查找的时间从 O ( n ) O(n) O(n)缩短为 O ( n l o g ( n ) ) O(n~log(n)) O(n log(n))！！
忍不住激动！！
可是找到位置不够，还要进行移动啊。移动的时间复杂度是 O ( n ) O(n) O(n)那么这样非但没有优化，反而还增加了查找的时间。。。
希望瞬间破灭！！
但是我会向它屈服吗？？？
会 吗？
明显不会！
二、copy函数
我们可以使用一个 S T L STL STL库里面的一个函数：
copy(a,a+n,a+1);
c o p y copy copy函数！！
这个函数可以在 O ( 1 ) O(1) O(1)的时间范围内将数组的某一段移动到，
使用方法：
以上面的操作为例子，这表明：
- 以 a a a数组的第 0 0 0位为开头
- 以 a a a数组的第 n − 1 n-1 n−1位位结尾
- 将它移动到开头位第 1 1 1位的位置
那么，这就好办了，只需要要讲两个结合起来，一个速度与归并排序相当，代码比归并排序简短许多的超级优化插入排序代码诞生了：
优化后代码
#include <bits/stdc++.h>
#define N 2000000
using namespace std;
int n,x,y,f,t[N],k[N];
int main() {
scanf("%d",&n);
for (int i=1; i<=n; i++) {
scanf("%d",&x);
f=upper_bound(t+1,t+i,x)-t; //记录二分的位置
copy(t+f,t+i,t+f+1); //copy
t[f]=x; //存入数组
}
for (int i=1; i<=n; i++) {
printf("%d ",t[i]);
}
return 0;
}
输入数据：
5
4 9 1021 54 3
输出数据：
3 4 9 54 1021
也是对了好吧~~
算法的用途
这个算法可以快速的在有序数列里面进行操作，也是异常的方便快捷，代码超级简短！！
下面给一道可以用这个算法解决的问题：
题目：数星星（POJ2352 star）
天文学家经常观察星象图。星象图中用平面上的点来表示一颗星星，每一颗星星都有一个笛卡尔坐标。设定星星的等级为其左下角星星的总数。天文学家们想知道星星等级的分布情况。
比如上图， 5 5 5号星星的等级为 3 3 3（其左下角有编号为 1 1 1、 2 2 2、 4 4 4星星共三颗）。 2 2 2号星星和 4 4 4号星星的等级为 1 1 1。在上图中只有一颗星星等级为 0 0 0，两颗星星等级为 1 1 1，一颗星星等级为 2 2 2，一颗星星等级为 3 3 3。
给定一个星象图，请你写一个程序计算各个等级的星星数目。
输入输出格式
输入格式：
输入的第一行包含星星的总数 N ( 1 < = N < = 15000 ) N (1<=N<=15000) N(1<=N<=15000)。接下来 N N N行，描述星星的坐标 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)（ X X X和 Y Y Y用空格分开， 0 ≤ X , Y ≤ 32000 0\le X,Y\le 32000 0≤X,Y≤32000）。星象图中的每个点处最多只有一颗星星。所有星星按 Y Y Y坐标升序排列。 Y Y Y坐标相等的星星按 X X X坐标升序排列。
输出格式
输出包含 N N N行，每行一个整数。第一行包含等级 0 0 0的星星数目，第二行包含等级 1 1 1的星星数目，依此类推，最后一行包含等级为 N − 1 N-1 N−1的星星数目。
输入输出样例
输入样例
5
1 1
5 1
7 1
3 3
5 5
输出样例
1
2
1
1
0
题目讲解
由于输入数据有序，所以在第 i i i颗星星左下角的星星一定在 i i i前面！！原理自己想想就知道了~~
所以其实就是求在点 i i i前面的点中，有多少个的 X X X坐标是比 i i i的 X X X坐标要小的，因此直接考虑插入排序做法：
步骤如下
- 输入星星的数量 n n n
- 循环从 1 1 1到 n n n
- 每次输入当前点的 X X X和 Y Y Y
- 用二分查找当前点的 X X X应当放在哪个位置
- 用变了量 f f f记录位置， f − 1 f-1 f−1就是当前星星的等级
- 用 c o p y copy copy将数据，从当前合适的位置开始，到 i − 1 i-1 i−1往后移动一位
- 将当前数据存入排序数组
- 用另一个数组标记这个等级的星星 + + ++ ++
- 循环输出每个级别的星星
AC 代码
#include <bits/stdc++.h>
#define N 20000
using namespace std;
int n,x,y,f,t[N],k[N];
int main() {
scanf("%d",&n);
for (int i=1; i<=n; i++) {
scanf("%d%d",&x,&y);
f=upper_bound(t+1,t+i,x)-t;
copy(t+f,t+i,t+f+1);
t[f]=x;
k[f-1]++;
}
for (int i=0; i<n; i++) {
printf("%d\n",k[i]);
}
return 0;
}