数学建模之层次分析法(复习/速通简略版)

V2.0(2023-07-26)：进行代码的补充

V1.0(2023-07-25):缺少部分必要的公式，以及讲解的清晰程度不够

算法思想

引入：主观性打分问题

一般情况，在小样本数据下，进行使用。若是有其他选择的话，可以使用其他算法替代。

通过建立递阶层次结构，把主观的多个判断，变成客观的两两比较之上，把难于量化的定性判断，转化为可操作的要素比较。因此，常用来进行评价类问题的解决。

递阶层次结构

• 目标层
• 准则层
• 方案层

比如:

旅行目的地的选择(涵盖多个因素)

学校的选择(涵盖多个因素)

目标：解决评价类问题

利用打分思想进行解决

权重——>重要性思维

• 打分法实现问题实现的表格

评价类问题特点

确定评价指标，形成评价体系

思考的问题：

• 评价的目标是什么
• 我们为了达到这个目标有分社方案
• 评价的准则或者指标

评价类问题背景搜索引擎

谷歌——>bing——>百度——>知乎——>微信

指定指标权重

分而治之：两两比较

• 用1-9表示满意度

评价表格抽象化——判断矩阵

• Aij表示的意义是，与指标j相比，i的重要程度

• i=j的时候，指标相同，置为1

• Aij且满足Aij*Aji =1（正互反矩阵）

• 一致矩阵 ：满足Aij*Ajk=1

  各行各列成倍数关系

一致性检验

层次分析法中构造的判断矩阵均是成倍数关系的一致矩阵

在判断矩阵求权重之前，必须进行一致性检验

一致矩阵有一个特征值是n，其余特征值均为0

结论：

n阶正互反矩阵A为一直矩阵时，当且仅当最大特征值λ=n,非一致的时候λ>n

1.计算一致性指标CI

其中λ是判断矩阵特征值的最大值

n是判断矩阵的阶数 

2.查找对应的平均随机一致性指标RI

利用随机抽样的方法来构造的

RI表

3.计算一致性比例CR

CR=CI/RI

若CR<0.1则可以认为判断矩阵的一致性可以接受，否则需要对判断矩阵进行修正

权重需要将进行归一化处理

将比例计算算数占比

若是判断矩阵不是正互反矩阵，那么可以使用全部的数据

• 计算每一列的权重
• 进行算数平均

权重求解方法

算数平均法求权重

1. 讲判断矩阵按照列进行归一化
2. 讲归一化的各列相加
3. 相加后得到的向量每个元素除以n得到权重向量

算数平均法得到的权重向量

几何平均法求权重

1. 将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
2. 将新的向量的每个分量开n次方
3. 进行归一化

特征值法

tip:一般来讲，会选择使用特征值来求解权重

一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值为0

步骤：

1. 求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
2. 求出特征向量进行归一化即可得到我们的权重

 

通过权重矩阵得到评价结果

利用Excle来求解评价结果

• 利用F4锁定指标权重这一列

层次分析法步骤

第一步：层次结构图

目标层Objective

准则层Criterion

方案层Plan

利用SmartArt生成

PPT自带的方法

利用亿图图示生成

或者类似的专业软件

第二步：构造判断矩阵

构造判断矩阵O-C

C1-C2-C3-C4-C5可以生成五个判断矩阵

第三步：判断矩阵通过一致性检验

（检验通过权重才能用）

比赛中计算权重可以用特征值法比较多

突出点：为了保证结果的稳健性

本文采用了三种方法求出权重，再根据权重计算各个方案的得分，并进行排序和综合分析，避免采用一种方法所产生的偏差

第四步：计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序

层次分析法的局限性

• 决策层不能太多，否则判断矩阵和一致矩阵的误差太大

层次分析法的代码实现

这篇博客写的很清晰