1597: [Usaco2008 Mar]土地购买
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Description
农夫John准备扩大他的农场,他正在考虑N (1 <= N <= 50,000) 块长方形的土地. 每块土地的长宽满足(1 <= 宽 <
= 1,000,000; 1 <= 长 <= 1,000,000). 每块土地的价格是它的面积,但FJ可以同时购买多快土地. 这些土地的价
格是它们最大的长乘以它们最大的宽, 但是土地的长宽不能交换. 如果FJ买一块3x5的地和一块5x3的地,则他需要
付5x5=25. FJ希望买下所有的土地,但是他发现分组来买这些土地可以节省经费. 他需要你帮助他找到最小的经费.
Input
* 第1行: 一个数: N
* 第2..N+1行: 第i+1行包含两个数,分别为第i块土地的长和宽
Output
* 第一行: 最小的可行费用.
Sample Input
4
100 1
15 15
20 5
1 100
输入解释:
共有4块土地.
100 1
15 15
20 5
1 100
输入解释:
共有4块土地.
Sample Output
500
FJ分3组买这些土地:
第一组:100x1,
第二组1x100,
第三组20x5 和 15x15 plot.
每组的价格分别为100,100,300, 总共500.
FJ分3组买这些土地:
第一组:100x1,
第二组1x100,
第三组20x5 和 15x15 plot.
每组的价格分别为100,100,300, 总共500.
HINT
Source
题解：
我们需要维护x单调递增且y单调递减,这样我们才能方便找到一段区间内的费用.(x递减,y递增也可以).然后我们就可以轻松地写出dp方程:f[i]=min{f[j]+x[i]*y[j+1]} (j<i)
然后我们用之前的方法去对这个式子变形就可以套上斜率优化了,这里我就不写上来了,式子比较好推.不过这里的一个亮点就是如何维护x递增,y递减.
首先如果存在两个矩形,其中一个矩形的长宽都要比另一个矩形的长宽要大,那么我们很容易发现,这个矩形对答案的贡献是完全没有的.那么我们可以去除掉这些被覆盖的矩形.我们先对以x为第一关键字排序,然后建立一个队列,从1-n枚举每一个矩形,然后由于x是递增的,那么我们就只要找到队列里面第一个y大于这一个矩形的就可以了.最后再把它放入队列里面.之后这个队列的元素就是我们要得到的元素了.因为x是单调递增的,要使得矩形不互相覆盖,只有y单调递减才可以.
代码（一直WA）：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct aaa{
long long u,v;
}a[100001];
long long n,i,tot,l,r,b[100001],c[100001],q[100001],f[100001];
bool cmp(aaa a,aaa b){
return a.u<b.u||(a.u==b.u&&a.v<b.v);
}
int main(){
scanf("%lld",&n);
for(i=1;i<=n;i++){
scanf("%lld%lld",&a[i].u,&a[i].v);
}
sort(a+1,a+n+1,cmp);
for(i=1;i<=n;i++){
while(tot&&c[tot]<=a[i].v)tot--;
b[++tot]=a[i].u;c[tot]=a[i].v;
}
l=0;r=0;
for(i=1;i<=tot;i++){
//printf("%d %d %d\n",i,l,r);
while(l<r&&(double(f[q[l]+1]-f[q[l]])/(c[q[l]+1]-c[q[l]+2]))<double(b[i]))l++;
f[i]=f[q[l]]+b[i]*c[q[l]+1];
while(l<r&&(double(f[i]-f[q[r]])/(c[q[r]+1]-c[i+1]))<(double(f[q[r]]-f[q[r-1]])/(c[q[r-1]+1]-c[q[r]+1])))r--;
q[++r]=i;
}
printf("%lld",f[tot]);
}
别人的AC代码：
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using std:: max;
using std:: min;
typedef long long LL;
static const int maxm=1e6+10;
struct mtx{
LL x,y;
bool operator < (const mtx &m) const {
return x==m.x?y<m.y:x<m.x;
}
}A[maxm];
LL Q[maxm],xx[maxm],yy[maxm],f[maxm];
int cnt,n,head=1,tail=1;
double slp(int j,int k){
return (double)(f[k]-f[j])/(yy[j+1]-yy[k+1]);
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld%lld",&A[i].x,&A[i].y);
std::sort(A+1,A+n+1);
for(int i=1;i<=n;i++){
while(cnt&&yy[cnt]<=A[i].y)cnt--;
yy[++cnt]=A[i].y;xx[cnt]=A[i].x;
}
for(int i=1;i<=cnt;i++){
while(head<tail&&slp(Q[head+1],Q[head])<=xx[i])head++;
f[i]=f[Q[head]]+yy[Q[head]+1]*xx[i];
while(head<tail&&slp(i,Q[tail])<=slp(Q[tail],Q[tail-1]))tail--;
Q[++tail]=i;
}
printf("%lld\n",f[cnt]);
return 0;
}