BZOJ[1597][Usaco2008 Mar]土地购买 斜率优化

传送门ber~

首先按$x$为第一关键字，$y$为第二关键字，将没有贡献的矩形($x_i<x_j,y_i<y_j,i<j$)删掉，这样就满足了$x$递增，$y$递减，列出dp方程$f_i=min\{f_j+y_{j+1}*x_i\}$
设$t>k$，状态$t$比$k$优，当且仅当

$$f_t+y_{t+1}*x_i<f_k+y_{k+1}*x_i$$
因为 $y$递减，所以 $y_{k+1}-y_{t+1}>0$，那么
$$\frac{f_t-f_k}{y_{k+1}-y_{t+1}}<x_i$$ $$\frac{f_t-f_k}{y_{t+1}-y_{k+1}}{>-x_i}$$
所以维护一个上凸壳，坐标为 $(y_{i+1},f_i)$，斜率优化。
$x$是单调的，所以单调队列维护

代码如下：

#include<algorithm>
#include<ctype.h>
#include<cstdio>
#define INF 21474836470000ll
#define N 50050
using namespace std;
typedef long long LL;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char c;
    do c=getchar(),f=c=='-'?-1:f; while(!isdigit(c));
    do x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar(); while(isdigit(c));
    return x*f;
}
int n,l,r,tot;
LL f[N];
struct Point{
    LL x,y;
    Point(){}
    Point(LL _,LL __):x(_),y(__){}
}q[N],a[N],b[N],tmp;
inline bool cmp(Point a,Point b){
    return a.x==b.x?a.y<b.y:a.x<b.x;
}
inline double Slop(Point a,Point b){
    if(a.x==b.x) return a.y>b.y?-INF:INF;
    return 1.0*(b.y-a.y)/(b.x-a.x);
}
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        b[i].x=read();b[i].y=read();
    }
    sort(b+1,b+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(tot && b[i].y>=a[tot].y) tot--;
        a[++tot]=b[i];
    }
    l=r=0;
    q[0]=Point(a[1].y,0);
    for(int i=1;i<=tot;i++){
        while(l<r && Slop(q[l],q[l+1])>-a[i].x) l++;
        f[i]=a[i].x*q[l].x+q[l].y;
        tmp=Point(a[i+1].y,f[i]);
        while(l<r && Slop(q[r],tmp)>Slop(q[r-1],q[r])) r--;
        q[++r]=tmp;
    }
    printf("%lld",f[tot]);
    return 0;
}