[斜率DP优化]BZOJ 1597: [Usaco2008 Mar]土地购买 题解

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题目描述

给出n块土地，第i块长度为$x_i$，宽度为$y_i$，一次可以购买任意数目土地，每次购买的价格为所有这次购买的土地中$max\{x_i\}*max\{y_i\}$，求购买全部土地最少需要多少钱。

解题分析

首先对于一块土地i，如果存在另一块土地j，有$x_j>x_i,y_j>y_i$，那么说明i不可能对答案会有影响，所以可以筛去i，所以可以预处理所有的土地，筛去所有不符合规格的，剩下的土地才是我们要考虑的有可能会对答案产生影响的。这个土地序列满足$x_i$递减$y_i$递增。

然后发现是线性DP，$f[i]=min\{f[j]+y[i]*x[j+1]\}$，然后又发现i和j关系有相乘的，就考虑线性DP。
$f[j]+y[i]*x[j+1]<f[k]+y[i]*x[k+1]$
$f[j]-f[k]<y[i]*(r[k+1]-r[j-1])$
$\frac{f[j]-f[k]}{r[k+1]-r[j+1]}<c[i]$
然后就直接套模板就行了。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
struct data{
    int x,y;
    bool operator < (const data b)const{
        return x>b.x||(x==b.x&&y>b.y);
    }
}a[50005];
int n,m,que[50005],hed,til;
LL f[50005];
inline void readi(int &x){
    x=0; char ch=getchar();
    while ('0'>ch||ch>'9') ch=getchar();
    while ('0'<=ch&&ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
}
LL getX(const int i,const int j){return a[i+1].x-a[j+1].x;}
LL getY(const int i,const int j){return f[j]-f[i];}
int main()
{
    freopen("buy.in","r",stdin);
    freopen("buy.out","w",stdout);
    readi(m); n=hed=til=0;
    for (int i=1;i<=m;i++) {readi(a[i].x); readi(a[i].y);} sort(a+1,a+m+1);
    for (int i=1,mx=0;i<=m;i++) if (mx<a[i].y) {mx=a[i].y; a[++n]=a[i];}
    hed=til=1; que[1]=f[0]=0;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        while (hed<til&&getY(que[hed],que[hed+1])<=getX(que[hed],que[hed+1])*a[i].y) hed++;
        f[i]=f[que[hed]]+(LL)a[i].y*a[que[hed]+1].x;
        while (hed<til&&getY(que[til-1],que[til])*getX(que[til],i)>=getX(que[til-1],que[til])*getY(que[til],i)) til--;
        que[++til]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}