7. 全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式与贝叶斯公式

在等可能概型（古典概型）有一个抽签问题的例子：

例： 一袋中有 a 个白球，b 个蓝球，记 a+b=n。设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球，不放回地摸 n 次。则第 k 次摸到白球的概率均为 a/n。现在用另一种方法计算第 2 次取到白球的概率.

解： $设 A_i 表示第 i 次取到白球，i=1,2.$

$P(A_2) = P[(A_1\bigcup \overline{A_1})A_2] = P(A_1A_2\bigcup\overline{A_1}A_2) = P(\overline{A_1}A_2) + P(A_1A_2)$

$P(A_1A_2) = P(A_1)P(A_2|A_1) = \frac{a}{n} \times \frac{a-1}{n-1}$

$P(\overline{A_1}A_2) = P(\overline{A_1})P(A_2|\overline{A_1}) = \frac{b}{n} \times \frac{a}{n-1}$

$P(A_2) = P(\overline{A_1}A_2) + P(A_1A_2) = \frac{a}{n}$

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定义： 称 $B_1,B_2,...B_n$ 为 $S$ 的一个划分，若

（1）不漏 $B_1\bigcup B_2\bigcup ... \bigcup B_n = S,$

（2）不重 $B_iB_j = \emptyset, i\neq j.$

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定理： 设 $B_1,B_2,...,B_n$ 为 $S$ 的一个划分且 $P(B_i) > 0$。则有全概率公式：

$P(A) = \sum_{j=1}^{n}P(B_i)·P(A|B_j)$

证明： $A = AS = AB_1\bigcup AB_2 \bigcup ... \bigcup AB_n$ ， $AB_i 与AB_j 不相容（i\neq j）$

$\therefore P(A) = \sum_{j=1}^{n}P(AB_j) = \sum_{j=1}^{n}P(B_j)·P(A|B_j)$

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设 $P(B_j) = p_j, P(A|B_j) = q_j, j=1,2,...,n.$

则： $P(A) = \sum_{j=1}^{n}p_jq_j.$

注意： 在运用全概率公式时，关键是构造合适的划分。

定理： 设 $B_1,B_2,...B_n 为 S 的一个划分且 P(B_i) > 0。对 P(A) > 0 有 Bayes 公式：$

$P(B_i|A) = \frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)} = \frac{p_iq_j}{\sum_{j=1}^{n}p_iq_j}$

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例 1： 一小学举办家长开放日,欢迎家长参加活动.小明的母亲参加的概率为 80%.若母亲参加，则父亲参加的概率为 30%；若母亲不参加,则父亲参加的概率为 90%。

(1)求父母都参加的概率；

(2)求父亲参加的概率；

(3)在已知父亲参加的条件下，求母亲参加的概率.

解： 设 $A=\{母亲参加\}，B=\{父亲参加\}.$

由题意可知， $P(A)=0.80,P(B|A)=0.30,P(B|\overline{A})=0.90$

（1） $P(AB) = P(A)P(B|A) = 0.80 \times 0.30 = 0.24$

（2）由全概率公式得：

$P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A}) = 0.8\times0.3+0.2\times0.9 = 0.42 = 42\%$

（3）由 Bayes 公式得：

$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A})} = \frac{4}{7}$

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例 2： 有甲乙两盒，甲盒有 3 个红球 2 个白球，乙盒有 2 个红球，1 个白球。先从甲盒中采用不放回抽样取 3 球放入乙盒，再从乙盒中取一个球，求取到的是红球的概率。

解： 设 $A_i=\{从甲盒中取到 i 个红球\},i=1,2,3.$

$P(A_1) = \frac{C_{3}^{1}C_{2}^{2}}{C_{5}^{3}}=0.3$ , $P(A_2) = \frac{C_{3}^{2}C_{2}^{1}}{C_{5}^{3}}=0.6$ , $P(A_3) = \frac{C_{3}^{3}}{C_{5}^{3}}=0.1$

设 $B = \{从乙盒中取到红球\},$

$P(B|A_1)=1/2 ， P(B|A_2)=2/3 ， P(B|A_3)=5/6.$

这里解释一下， 上面得到的三个概率是由于确认从甲盒中取出 1,2,3 个红球后，乙盒中球的变化，在根据当前乙盒中的情况，分别求出上面三个概率。

由全概率公式得：

$\begin{aligned} P(B) =& P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3) \\ =& \frac{3}{10}\times\frac{1}{2} + \frac{6}{10}\times\frac{2}{3} + \frac{1}{10}\times\frac{5}{6} = \frac{19}{30} \end{aligned}$

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例 3： 根据以往的临床记录某种诊断癌症的试验具有 5%的假阳性及 3%的假阴性：

若设A={试验反应是阳性}，C={被诊断患有癌症},则有：

$P(A|\overline{C})=5\%, P(\overline{A}|C) = 3\%,$

已知某一群体 $P(C)=0.005$,问这种方法能否用于普查？

解：由题意可得：

$P(C) = 0.005, P(\overline{C}) = 0.995, P(A|C) = 1 - P(\overline{A}|C) = 0.97$

由 Bayes 公式得

$P(C|A) = \frac{P(CA)}{P(A)} = \frac{P(C)P(A|C)}{P(C)P(A|C)+P(\overline{C})P(A|\overline{C})} = 0.089$

这个结果表面，100 个阳性病人中被诊断患有癌症的大约有 8.9 个，所以不宜用于普查。如果发现结果为阳性，还需要作进一步的检查。

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