理解全概率公式与贝叶斯公式

在概率论与数理统计中，有两个相当重要的公式——全概率公式与贝叶斯公式。然而很多人对这两个公式感到非常迷茫。一来不知道公式背后的意义所在，二来不知道这些冰冷的公式能有什么现实应用。

1. 全概率公式

在讲全概率公式之前，首先要理解什么是“完备事件群”。
我们将满足

BiBj=∅(i≠j)B1+B2+⋯=Ω” role=”presentation”>BiBj=∅(i≠j)B1+B2+⋯=ΩBiBj=∅(i≠j)B1+B2+⋯=Ω

$$\begin{array}{c} B_i B_j=\varnothing \enspace (i \neq j)\\ B_1 + B_2 + \cdots =\Omega \end{array}$$

这样的一组事件称为一个“完备事件群”。简而言之，就是事件之间两两互斥，所有事件的并集是整个样本空间（必然事件）。

假设我们要研究事件A。我们希望能够求出P(A)” role=”presentation”>P(A)P(A)。
能不能根据这些信息，间接地求出P(A)” role=”presentation”>P(A)P(A)呢？
这当然是可以的。

我们不要忘记，Bi” role=”presentation”>BiBi是两两互斥的。

A=AΩ=AB1+AB2+AB3+⋯” role=”presentation”>A=AΩ=AB1+AB2+AB3+⋯A=AΩ=AB1+AB2+AB3+⋯

显然，AB1” role=”presentation”>AB1AB1也是两两互斥的。1
一说到两两互斥，我们就想到了概率的加法定理：2

在概率论与数理统计中，有两个相当重要的公式——全概率公式与贝叶斯公式。然而很多人对这两个公式感到非常迷茫。一来不知道公式背后的意义所在，二来不知道这些冰冷的公式能有什么现实应用。