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1.三维圆
已知不共线的三个点，设其坐标为 ( x 1 , y 1 , z 1 ) (x_1,y_1,z_1) (x1,y1,z1)、 ( x 2 , y 2 , z 2 ) (x_2,y_2,z_2) (x2,y2,z2)、 ( x 3 , y 3 , z 3 ) (x_3,y_3,z_3) (x3,y3,z3)，空间圆的一般方程为：
A ( x 2 + y 2 + z 2 ) + B x + C y + D z + E = 0 (1) A(x^2+y^2+z^2)+Bx+Cy+Dz+E=0\tag{1} A(x2+y2+z2)+Bx+Cy+Dz+E=0(1)
将式(1)变形可得圆的标准方程为：
( x + B 2 A ) 2 + ( y + C 2 A ) 2 + ( z + D 2 A ) 2 = B 2 + C 2 + D 2 − 4 A E 4 A 2 (2) (x+\frac{B}{2A})^2+(y+\frac{C}{2A})^2+(z+\frac{D}{2A})^2=\frac{B^2+C^2+D^2-4AE}{4A^2}\tag{2} (x+2AB)2+(y+2AC)2+(z+2AD)2=4A2B2+C2+D2−4AE(2)
将三个已知点代入式(1)，可得关于 A , B , C , D , E A,B,C,D,E A,B,C,D,E的齐次线性方程组：
[ x 2 + y 2 + z 2 x y z 1 x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 x 1 y 1 z 1 1 x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 x 2 y 2 z 2 1 x 3 2 + y 3 2 + z 3 2 x 3 y 3 z 3 1 ] ⋅ [ A B C D E ] = [ 0 0 0 0 0 ] (3) \left[ \begin{matrix} x^2+y^2+z^2 & x & y&z&1\\ x_1^2+y_1^2+z_1^2 & x_1 & y_1&z_1&1 \\ x_2^2+y_2^2+z_2^2 & x_2 & y_2&z_2&1 \\ x_3^2+y_3^2+z_3^2 & x_3 & y_3&z_3&1 \\ \end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} A\\ B \\ C \\ D \\ E \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 0\\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]\tag{3} x2+y2+z2x12+y12+z12x22+y22+z22x32+y32+z32xx1x2x3yy1y2y3zz1z2z31111 ⋅ ABCDE = 00000 (3)
式(3)中的系数矩阵并非方阵。于是利用三个已知点来确定平面 π \pi π，其方程为：
m x + n y + p z + q = 0 (4) mx+ny+pz+q=0\tag{4} mx+ny+pz+q=0(4)
将三个已知点代入式(4)，可得关于 m , n , p , q m,n,p,q m,n,p,q的齐次线性方程组：
[ x 2 + y 2 x y 1 x 1 2 + y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 y 3 1 ] ⋅ [ m n p q ] = [ 0 0 0 0 ] (5) \left[ \begin{matrix} x^2+y^2 & x & y&1\\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1&1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2&1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3&1 \\ \end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} m\\ n \\ p \\ q \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 0\\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]\tag{5} x2+y2x12+y12x22+y22x32+y32xx1x2x3yy1y2y31111 ⋅ mnpq = 0000 (5)
在三点不共线的前提下，该齐次线性方程组有非零解，其等价于系数矩阵不满秩，即有：
∣ x 2 + y 2 x y 1 x 1 2 + y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 y 3 1 ∣ = 0 (6) \left| \begin{matrix} x^2+y^2 & x & y&1\\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1&1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2&1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3&1 \\ \end{matrix} \right|=0\tag{6}
x2+y2x12+y12x22+y22x32+y32xx1x2x3yy1y2y31111
=0(6)
将式(6)展开，并与式(4)对比可得四个系数：
m = + ∣ y 1 z 1 1 y 2 z 2 1 y 3 z 3 1 ∣ (7) m=+\left| \begin{matrix} y_1 & z_1&1 \\ y_2 & z_2&1 \\ y_3 & z_3&1 \\ \end{matrix} \right|\tag{7} m=+
y1y2y3z1z2z3111
(7)
n = − ∣ x 1 z 1 1 x 2 z 2 1 x 3 z 3 1 ∣ (8) n=-\left| \begin{matrix} x_1& z_1&1 \\ x_2 & z_2&1 \\ x_3& z_3&1 \\ \end{matrix} \right|\tag{8} n=− x1x2x3z1z2z3111 (8)
p = + ∣ x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 ∣ (9) p=+\left| \begin{matrix} x_1& y_1 &1 \\ x_2 & y_2 &1 \\ x_3 & y_3 &1 \\ \end{matrix} \right|\tag{9} p=+ x1x2x3y1y2y3111 (9)
q = − ∣ x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 ∣ (10) q=-\left| \begin{matrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \\ \end{matrix} \right|\tag{10} q=−
x1x2x3y1y2y3z1z2z3
(10)
由式(2)可得圆心坐标 ( x c , y c , z c ) (x_c,y_c,z_c) (xc,yc,zc)：
{ x c = − B 2 A y c = − C 2 A z c = − D 2 A (11) \begin{cases} x_c=-\frac{B}{2A}\\ y_c=-\frac{C}{2A}\\ z_c=-\frac{D}{2A}\\ \end{cases} \tag{11} ⎩
⎨
⎧xc=−2AByc=−2ACzc=−2AD(11)
由于圆心 ( x c , y c , z c ) ( x_c , y_c , z_c ) (xc,yc,zc)也在平面 π \pi π上，于是将式((11)代入式(4)可得
2 q A − m B − n C − p D = 0 (12) 2qA−mB−nC−pD=0\tag{12} 2qA−mB−nC−pD=0(12)
将式(12)与式(3)结合，可得
[ x 2 + y 2 + z 2 x y z 1 x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 x 1 y 1 z 1 1 x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 x 2 y 2 z 2 1 x 3 2 + y 3 2 + z 3 2 x 3 y 3 z 3 1 2 q − m − n − p 1 ] ⋅ [ A B C D E ] = [ 0 0 0 0 0 ] (13) \left[ \begin{matrix} x^2+y^2+z^2 & x & y&z&1\\ x_1^2+y_1^2+z_1^2 & x_1 & y_1&z_1&1 \\ x_2^2+y_2^2+z_2^2 & x_2 & y_2&z_2&1 \\ x_3^2+y_3^2+z_3^2 & x_3 & y_3&z_3&1 \\ 2q & -m & -n&-p&1 \\ \end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} A\\ B \\ C \\ D \\ E \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 0\\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]\tag{13}
x2+y2+z2x12+y12+z12x22+y22+z22x32+y32+z322qxx1x2x3−myy1y2y3−nzz1z2z3−p11111
⋅
ABCDE
=
00000
(13)
在三点不共线的前提下，该齐次线性方程组有非零解，其等价于系数矩阵不满秩，即有：
A = + ∣ x 1 y 1 z 1 1 x 2 y 2 z 2 1 x 3 y 3 z 3 1 − m − n − p 0 ∣ (14) A=+\left| \begin{matrix} x_1 & y_1&z_1&1 \\ x_2 & y_2&z_2&1 \\ x_3 & y_3&z_3&1 \\ -m & -n&-p&0 \\ \end{matrix} \right|\tag{14} A=+ x1x2x3−my1y2y3−nz1z2z3−p1110 (14)
B = − ∣ x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 y 1 z 1 1 x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 y 2 z 2 1 x 3 2 + y 3 2 + z 3 2 y 3 z 3 1 2 q − n − p 0 ∣ (15) B=-\left| \begin{matrix} x_1^2+y_1^2+z_1^2& y_1&z_1&1 \\ x_2^2+y_2^2+z_2^2 & y_2&z_2&1 \\ x_3^2+y_3^2+z_3^2 & y_3&z_3&1 \\ 2q & -n&-p&0 \\ \end{matrix} \right|\tag{15} B=− x12+y12+z12x22+y22+z22x32+y32+z322qy1y2y3−nz1z2z3−p1110 (15)
C = + ∣ x 1 2 + y 1 2 + x 1 2 x 1 z 1 1 x 2 2 + y 2 2 + x 2 2 x 2 z 2 1 x 3 2 + y 3 2 + x 3 2 x 3 z 3 1 2 q − m − p 0 ∣ (16) C=+\left| \begin{matrix} x_1^2+y_1^2+x_1^2& x_1&z_1&1 \\ x_2^2+y_2^2+x_2^2 & x_2&z_2&1 \\ x_3^2+y_3^2+x_3^2 & x_3&z_3&1 \\ 2q & -m&-p&0 \\ \end{matrix} \right|\tag{16} C=+ x12+y12+x12x22+y22+x22x32+y32+x322qx1x2x3−mz1z2z3−p1110 (16)
D = − ∣ x 1 2 + y 1 2 + x 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 + x 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 + x 3 2 x 3 y 3 1 2 q − m − n 0 ∣ (17) D=-\left| \begin{matrix} x_1^2+y_1^2+x_1^2& x_1&y_1&1 \\ x_2^2+y_2^2+x_2^2 & x_2&y_2&1 \\ x_3^2+y_3^2+x_3^2 & x_3&y_3&1 \\ 2q & -m&-n&0 \\ \end{matrix} \right|\tag{17} D=− x12+y12+x12x22+y22+x22x32+y32+x322qx1x2x3−my1y2y3−n1110 (17)
E = + ∣ x 1 2 + y 1 2 + x 1 2 x 1 y 1 z 1 x 2 2 + y 2 2 + x 2 2 x 2 y 2 z 2 x 3 2 + y 3 2 + x 3 2 x 3 y 3 z 2 2 q − m − n − p ∣ (18) E=+\left| \begin{matrix} x_1^2+y_1^2+x_1^2& x_1&y_1&z_1 \\ x_2^2+y_2^2+x_2^2 & x_2&y_2&z_2 \\ x_3^2+y_3^2+x_3^2 & x_3&y_3&z_2 \\ 2q & -m&-n&-p \\ \end{matrix} \right|\tag{18} E=+ x12+y12+x12x22+y22+x22x32+y32+x322qx1x2x3−my1y2y3−nz1z2z2−p (18)
可得圆心坐标 ( x c , y c , z c ) (x_c,y_c,z_c) (xc,yc,zc)和半径 r r r，即
{ x c = − B 2 A y c = − C 2 A z c = − D 2 A r = B 2 + C 2 + D 2 − 4 A E 4 A 2 (19) \begin{cases} x_c=-\frac{B}{2A}\\ y_c=-\frac{C}{2A}\\ z_c=-\frac{D}{2A}\\ r=\sqrt\frac{B^2+C^2+D^2-4AE}{4A^2} \end{cases} \tag{19} ⎩
⎨
⎧xc=−2AByc=−2ACzc=−2ADr=4A2B2+C2+D2−4AE(19)
2.python代码
import numpy as np
def three_points_fit_3dcircle(points):
p1 = points[0]
p2 = points[1]
p3 = points[2]
# 共线检查
temp01 = p1 - p2
temp02 = p3 - p2
temp03 = np.cross(temp01, temp02)
temp = (temp03 @ temp03) / (temp01 @ temp01) / (temp02 @ temp02)
if temp < 10 ** -6:
print('\t三点共线, 无法确定圆')
return None
temp1 = np.vstack((p1, p2, p3))
temp2 = np.ones(3).reshape(3, 1)
mat1 = np.hstack((temp1, temp2)) # size = 3x4
m = +np.linalg.det(mat1[:, 1:])
n = -np.linalg.det(np.delete(mat1, 1, axis=1))
p = +np.linalg.det(np.delete(mat1, 2, axis=1))
q = -np.linalg.det(temp1)
temp3 = np.array([p1 @ p1, p2 @ p2, p3 @ p3]).reshape(3, 1)
temp4 = np.hstack((temp3, mat1))
temp5 = np.array([2 * q, -m, -n, -p, 0])
mat2 = np.vstack((temp4, temp5)) # size = 4x5
A = +np.linalg.det(mat2[:, 1:])
B = -np.linalg.det(np.delete(mat2, 1, axis=1))
C = +np.linalg.det(np.delete(mat2, 2, axis=1))
D = -np.linalg.det(np.delete(mat2, 3, axis=1))
E = +np.linalg.det(mat2[:, :-1])
pc = -np.array([B, C, D]) / 2 / A
r = np.sqrt(B * B + C * C + D * D - 4 * A * E) / 2 / abs(A)
return pc, r
3.计算结果
圆心坐标:[-0.77585587 -0.26649462 -0.01626231]
圆半径:0.9999999780711272