最小二乘拟合椭圆

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1.拟合椭圆

  二次曲线的一般方程为：
$$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$$

  令：
$$\Delta =B^2-4AC$$
那么，当$\Delta >0$时方程表示双曲线；当$\Delta =0$时方程表示抛物线；当$\Delta <0$时方程表示椭圆。
  即对于椭圆的一般方程：
$$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$$
需要有约束条件：
$$\Delta =B^2-4AC<0$$
  称二元函数$f(x,y)$ 为点$(x,y)$到椭圆的代数距离，$f(x,y)$的表达式为：
$$f(x,y)=A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F$$
如果令向量$\vec{a}$为：
$$\vec{a}=[A，B，C，D，E，F{]}^T$$
令向量$\vec{x}$为：
$$\vec{x}=[x^2，xy，y^2，x，y，1]$$
那么椭圆的一般方程就可以改写为：
$$\vec{a}\cdot \vec{x}=0$$

  即代数距离为：$\vec{a}\cdot \vec{x}$。设有$N$个数据点：$(x_i，y_i)，i=1，2，3\dots N$，那么如果要求最佳拟合的椭圆，便需要求${\sum }_{i=1}^N(\vec{a}\cdot \overrightarrow{X_i}{)}^2$的最小值。这可以运用最小二乘法求解，但所得到的结果是圆锥曲线而不是一定椭圆。
  所以，如果要获得椭圆解，就需要加入约束条件：
$$\Delta =B^2-4AC<0$$
  一般地，在一个合适的尺度下，上述形式为不等式的约束条件可以转化为形式为等式的约束条件，即有：
$$B^2-4AC=-1$$
  那么，如果定义一个$N\times 6$的矩阵$D$：
$$D=\left[\begin{array}{cccccc}{x}_1^2& x_1{y}_1& y_1^2& x_1& y_1& 1\\ x_2^2& x_2{y}_2& y_2^2& x_2& y_2& 1\\ x_3^2& x_3{y}_3& y_3^2& x_3& y_3& 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ x_n^2& x_n{y}_n& y_n^2& x_n& y_n& 1\end{array}\right]$$
  定义一个$6\times 6$的矩阵$C$：
$$C=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 2& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0& 0& 0\\ 2& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
那么，约束条件就可以写为：
$${\bar{a}}^{T}C\bar{a}=1$$
在此条件下，求下式的最小值：
$$||D\bar{a}|{|}^2={\bar{a}}^T{D}^{T}D\bar{a}$$
构造拉格朗日函数为：
$$L(D,\lambda )={\bar{a}}^T{D}^T\bar{a}-\lambda ({\bar{a}}^{T}C\bar{a}-1)$$
为求极值，可令偏导数为0：
$$\frac{\delta L(D,\lambda )}{\delta \bar{a}}=D^{T}D\bar{a}-\lambda C\bar{a}=0$$
于是：
$$D^{T}D\bar{a}=\lambda C\bar{a}$$
如果令：
$$S=D^{T}D$$
那么，等式就可以化为：
$$S\vec{a}=\lambda C\vec{a}$$
如果$S$可逆，并且令$X=S^{-1}C$，那么可以将其转化为求取矩阵的特征值的形式：
$$X\vec{a}=\frac{1}{\lambda }\vec{a}$$
可以知道，上面的矩阵$X$为6 阶方阵，其特征多项式为6 阶多项式。
  事实上，可以证明，问题的结果对应着$X$的特征值的绝对值最大的特征向量。
在实际操作中，是可以采用求极限的算法进行求解的。
  如果矩阵$X$有$n$个不同的特征值：${\lambda }_1，{\lambda }_2，{\lambda }_3，\dots ，{\lambda }_n$其对应的特征向量分别为：
$${\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,{\vec{a}}_3,\dots ,{\vec{a}}_n$$
  可以知道，这些特征向量线性无关，于是，$n$维向量$\vec{x}$可以表示为：
$$\vec{x}=k_1{\vec{a}}_1+k_2{\vec{a}}_2+k_3{\vec{a}}_3+...+k_n{\vec{a}}_n$$
那么，可以得到：
$$X^m\vec{x}=k_1^m{\vec{a}}_1+k_2^m{\vec{a}}_2+k_3^m{\vec{a}}_3+...+k_n^m{\vec{a}}_n$$
  令$k$为$k_1,k_2,k_3\dots k_n$ 中的绝对值最大的值，其对应的特征向量为$\vec{a}$，即：
$$k=max(|k_1|，|k_2|，|k_3|，\dots ，|k_n|)$$
那么，当$m\to +\infty$时，有$X^m\vec{m}\to k^m\vec{a}$。所得的$\vec{a}$即为所求的椭圆的参数所组成的向量。

2.示例代码

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