树状数组 单点更新 区间更新 单点查询 区间查询 学习笔记

单点更新 没啥好说的

区间更新的时候我们只能对前缀和建树 那么我们建树呢？运用差分delta[i]=a[i]-a[i-1]那么delta的合不就是a[i]了吗 单点查询不就做到了吗 对这样建立的一棵树 我们只需要 让s后面+val,t+1后面-val 代表a[s]-a[s-1]多了val a[t+1]-a[t]少了val

板子

#include <iostream>
    using namespace std;
    const int MAX_N = 10010;
    int C[MAX_N];
    int n;
    int lowbit(int x){
        return x&(-x);
    }
    int getsum(int x){
        int res = 0;
        for(;x;x-=lowbit(x)){
            res+=C[x];
        }
        return res;
    }
    void change(int x,int c){
        for(;x<=n;x+=x&(-x)){
            C[x]+=c;
        }
    }
    int main() {
        cin >> n;
        
        return 0;
    }

这是单点和区间更新 对单点查询共用的板子

树状数组天生用来动态维护数组前缀和，其特点是每次更新一个元素的值，查询只能查数组的前缀和，

但这个题目求的是某一区间的数组和，而且要支持批量更新某一区间内元素的值，怎么办呢？实际上，

还是可以把问题转化为求数组的前缀和。

那么对区间更新区间查询 容易推出为两个前缀和相减 sum[t]-sum[s-1]就是我们要求的

 

    首先，看更新操作update(s, t, d)把区间A[s]...A[t]都增加d，我们引入一个数组delta[i]，表示

A[i]...A[n]的共同增量，n是数组的大小。那么update操作可以转化为：

1）令delta[s] = delta[s] + d，表示将A[s]...A[n]同时增加d，但这样A[t+1]...A[n]就多加了d，所以

2）再令delta[t+1] = delta[t+1] - d，表示将A[t+1]...A[n]同时减d

 

    然后来看查询操作query(s, t)，求A[s]...A[t]的区间和，转化为求前缀和，设sum[i] = A[1]+...+A[i]，则

                            A[s]+...+A[t] = sum[t] - sum[s-1]，

那么前缀和sum[x]又如何求呢？它由两部分组成，一是数组的原始和，二是该区间内的累计增量和, 把数组A的原始

值保存在数组org中，并且delta[i]对sum[x]的贡献值为delta[i]*(x+1-i)，那么

                            sum[x] = org[1]+...+org[x] + delta[1]*x + delta[2]*(x-1) + delta[3]*(x-2)+...+delta[x]*1

                                         = org[1]+...+org[x] + segma(delta[i]*(x+1-i))

                                         = segma(org[i]) + (x+1)*segma(delta[i]) - segma(delta[i]*i)，1 <= i <= x

这其实就是三个数组org[i], delta[i]和delta[i]*i的前缀和，org[i]的前缀和保持不变，事先就可以求出来，delta[i]和

delta[i]*i的前缀和是不断变化的，可以用两个树状数组来维护。

板子

 #define  LL  __int64
    LL a[maxn], b[maxn], c[maxn], sum[maxn], n;
    void Add(LL a[], LL x, LL d){
        for(;x<=n;x+=x&(-x))
                a[x] += d;
    }
    LL Sum(LL a[], LL x){
          LL sum = 0;
          for(;x;x-=x&(-x))
                sum += a[x];
          return sum;
    }
    int main()
    {
                sum[0] = 0;
                for (int i=1; i<=n; ++i)
                      sum[i] = sum[i-1] + a[i];
                      while(查询){
                            scanf("%I64d%I64d", &s, &t);
                            LL sum_a = sum[t] + (t+1)*Sum(b, t) - Sum(c, t);
                            LL sum_b = sum[s-1] + s*Sum(b, s-1) - Sum(c, s-1);
                            printf("%I64d\n", sum_a-sum_b);
                      }
                      else //change
                      {
                            scanf("%I64d%I64d%I64d", &s, &t, &val);
                            Add(b, s, val);
                            Add(b, t+1, -val);
                            Add(c, s, s*val);
                            Add(c, t+1, -val*(t+1));
                      }
          return 0;
    }