树状数组的区间更新和区间查询

对于区间修改、区间查询这样的简单问题，打一大堆线段树确实是不划算，所以学习下区间查询+区间修改的树状数组

设原数组是a[n]，差分数组c[n]，c[i]=a[i]-a[i-1]，

那么明显地a[i]=sigma (c[i])，如果想要修改a[i]到a[j](比如+v)，只需令c[i]+=v,c[j+1]-=v

观察式子：
a[1]+a[2]+...+a[n]

= (c[1]) + (c[1]+c[2]) + ... + (c[1]+c[2]+...+c[n]) 

= n*c[1] + (n-1)*c[2] +... +c[n]

= n * (c[1]+c[2]+...+c[n]) - (0*c[1]+1*c[2]+...+(n-1)*c[n])    (式子①)

我们假设 c2[i] = (i-1)*c[i]

每当修改c的时候，就同时修改一下c2，这样复杂度就不会改变

sigema(a1~an) = n * (c[1]+c[2]+...+c[n]) - (0*c[1]+1*c[2]+...+(n-1)*c[n])   = n*sigma(c[n]) - sigma(c2[n]);

练习题

CodeVS 1082 线段树练习3（点击）

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n;

int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

void update(long long c[],int x,long long num)
{
    for(int i = x;i <= n;i += lowbit(i))
    {
        c[i] += num;
    }
}

long long query(long long c[],int x)
{
    long long sum = 0;
    for(int i = x;i >= 1;i -= lowbit(i))
    {
        sum += c[i];
    }
    return sum;
}

long long c[200010];
long long c2[200010];
long long sum[200010];

int main()
{
    int q,op,x,y;
    long long num;

    scanf("%d",&n);

    sum[0] = 0;

    memset(c2,0,sizeof(c2));
    memset(c,0,sizeof(c));

    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        scanf("%lld",&sum[i]);

        update(c,i,sum[i] - sum[i - 1]);
        update(c2,i,(i - 1LL)*(sum[i] - sum[i - 1]));
    }

    scanf("%d",&q);

    while(q --)
    {
        scanf("%d %d %d",&op,&x,&y);

        if(op == 1)
        {
            scanf("%lld",&num);

            update(c,x,num);
            update(c,y+1LL,-num);
            update(c2,x,(x-1LL)*num);
            update(c2,y+1LL,-y*num);
        }
        else
        {
            printf("%lld\n", (y*query(c,y) - query(c2,y) ) - ( (x-1LL) *query(c,x-1LL) -query(c2,x - 1LL) )  );
        }
    }



    return 0;
}