文献：T. V. Chien, H. Q. Ngo, S. Chatzinotas and B. Ottersten, “Reconfigurable Intelligent Surface-Assisted Massive MIMO: Favorable propagation, channel hardening, and rank deficiency [Lecture Notes],” in IEEE Signal Processing Magazine, vol. 39, no. 3, pp. 97-104, May 2022, doi: 10.1109/MSP.2021.3128352.
【可重构智能表面辅助海量MIMO有利传播、信道硬化和秩亏缺】
大规模MIMO和RIS是5G和beyond无线网络中两种很有前途的技术，能够提供大的阵列增益和多用户空间复用。这些技术不需要额外频段的情况下，通过同时为多个用户提供服务，在频谱和能源效率方面提供了显著的改进。RIS辅助大规模MIMO系统的性能分析作为信道统计函数很大程度上依赖于基本特性，包括有利的传播、信道硬化，秩亏。直接链路和间接链路的共存导致了聚合信道，聚合信道是本文的重点关注点。对于有限天线和RIS的工程散射单元的实际系统，本文评估相应的确定性度量。以瑞利衰落信道为例。
Relevance——关联
天线阵列和传播环境是从根本上决定无线通信系统性能的关键因素。大规模MIMO通信已经证明了与服务用户的数量相比通过在每个基站相干地处理多个天线信号来增加通信吞吐量的可能性[1]。大规模阵列的每个天线单元可以为空间处理获得阵列增益并抑制相互干扰[2]。因此，大规模MIMO通过向不同用户使用不同的信道，即使在硬件损伤的情况下也能提供前所未有的改进[3]。尽管部署了大量的天线阵列，但许多方案限制了信道容量，特别是在诸如阻塞等恶劣条件下，这会导致信道状态不佳[4]。
为了提高大规模MIMO在恶劣传播条件下的性能，通过超表面实现的RIS非常有前途。RIS是一项新兴技术，它通过带有许多工程设计的散射单元组成平面阵列，来智能地控制传播环境，以一种期望的结构形成电磁波[5,6]。每个工程散射单元在入射信号上诱导相移，并在不需要射频链的情况下被动反射电磁波。因此利用RIS，可以避免高功耗和昂贵的硬件。在发送器和接收器之间的大距离/严重阻塞的情况下，RIS已被证明由于相移设计而增强了接收信号强度，该相移设计导致在接收器处的多个到达波建设性组合，因此产生比没有RIS更好的系统性能[7]。
由于RIS辅助的大规模MIMO是新课题，当系统中安装了许多天线和移相单元时，还没有标准的参考文献来呈现和提供有效的特性。本文通过介绍当BS天线和工程散射元件的数量增加时，RIS辅助大规模MIMO系统的信道特性方面。有三个重要的性质，即有利的传播、信道硬化、秩亏。获得这样的理解将直接使我们能够设计一个健壮的、节能的RIS辅助的大规模MIMO系统。
Problem statement-问题陈述
本文考虑一个RIS辅助通信系统，BS配备M个天线来服务K个单天线用户，如图1所示，为提高系统性能，在BS和用户之间的覆盖区域部署了具有N个工程散射单元的RIS。相移矩阵为
表示RIS的第n个工程散射单元的相移,它是可控的。对于BS通过RIS到用户的间接链路，用
表示BS-RIS的信道矩阵，
表示RIS-用户k的信道向量。
对于BS-用户k的直接链路传播信道表示为
本文现在考虑所有用户同时向BS发送信号的上行链路传输。【注意，同样的方法可以直接扩展到下行链路传输，特别是当利用时分双工(TDD)协议时】设sk
sk时用户k发送的符号。然后，BS处的接收信号表示为y：
其中p是分配给每个数据符号的发射功率，
是加性噪声，以及
这是用户k的聚合信道，包括直接链路和间接链路。为了进行信号处理，需要获取信道。一种传统方法是**分别估计BS-RIS和RIS-用户信道。**这是非常具有挑战性的，因为RIS缺乏数字处理单元。用于信道捕获的另一种方法，BS只需要估计聚合信道。这种技术产生了巨大的好处，即使用与不存在RIS的通信系统相同的训练导频训练开销，降低系统成本。在文献[4]中可以找到关于聚合信道估计的详细例子。因此出于性能评估的目的，聚合信道统计数据特别重要。当前的问题是当BS天线和工程散射单元的数目变大时，例如M,N——∞，研究信道特性。
【注：在TDD中，信道硬化在下行数据传输中更重要】
solution——解决方案
一般而言，由于来自(2)中间接来南路的加权乘积，聚合信道不遵循与传统大规模MIMO信道相同的分布。注意，在没有RIS的情况下，聚合信道减少到传统的大规模MIMO信道即
因此，由于RIS的存在，本文中呈现的结果是常规大规模MIMO通信的一般版本。在下文，将讨论有利的传播、信道硬化、秩亏性质。
1.有利的传播
这一部分介绍RIS辅助的大规模MIMO系统中的良好传播特性。具体说，它描述了从BS-K个用户的聚合信道向量之间的正交性，如下面的定义所示：
1.Definition 1
如果两个任意信道向量zk和zl，k不等于l，满足
则聚合信道提供良好的传播特性。
良好的传播是非常重要的，如果信道是有利的，那么从K个用户发射的信号将属于K个正交空间，结果，BS可以解码没有用户干扰由用户k发的信号投影到
上述投影对应于最大比结合技术，这表明良好地传播特性仅用简单的线性处理就产生了最佳的信号检测性能。尽管如此，这一特性在实际中很少保留因此，定义2给出的渐进有利传播更令人感兴趣。
2.Definition 2
随着M，N——∞，如果
聚合信道提供了渐进有利的传播特性。与“定义1”中的严格要求zk，zl内积为0不同，条件5提供了实际的容错性，即对于有限值，zk和zl的内积不需要为0，对于实际的系统，BS和RIS配备了大量(但有限)的天线/散射单元，以提供渐进有利传播的聚合信道模型为条件，现在本文通过确定性有利的信道传播来评估这一性质在有限M和N的情况下的表现。
3.Definition 3
对于给定的信道向量zk和zl，确定性有利传播度量被定义为：
通过评估(6)，本文能够测量当天线数量有限时，信道与有利传播的距离。换句话说，(6)代表(5)中的收敛速度，值得强调的时，这种确定性度量与小尺度衰落系数无关，因此通过知道大尺度衰落系数和相移，就可以评估聚合信道的良好传播特性。
小结：有利的传播意味着从BS到不同用户的聚合信道向量是成对正交的，在良好的传播条件下，采用简单的线性处理技术即可获得最佳的性能。确定性度量(6)测量聚合信道利用有限数量的BS天线和工程设计的散射元件提供的有利传播的接近程度。
2.信道硬化
这部分表示信道硬化属性，这是从BS到用户的聚合信道向量的范数平方不会有太大波动的现象(即使是小尺度衰落信道也随机变化)。从数学上讲，如果“定义4”中的条件成立，则聚合信道提供信道硬化。
4.Definition 4
随着M，N——∞，如果
则聚合信道模型提供信道硬化属性。与几乎确定的收敛。
从(7)开始，有效信道增益
可以用它的平均值来代替，因为基站上有许多天线，RIS上有许多散射单元。如果信道硬化，则在上行链路中，BS可以将瞬时信道增益替换为用于信号检测的平均值。这显著简化了BS处的信号处理以及资源分配设计，因为所有设计现在都可以在大尺度衰落时间尺度上完成。对于TDD，信道硬化在下行链路数据传输中更加重要。在下行链路中，由于信道硬化特性，每个用户可以将有效信道增益的平均值视为真实的平均值来检测所需的信号。因此，下行链路信道估计不需要下行链路导频开销。
因为zk是一个随机向量，所以利用“定义4”来证明信道的信道硬化特性是不平凡的。为了寻求一个更易处理的度量，本文使用了切比雪夫不等式[8]，使得：
对于任何ε>0，注意如果x是具有均值为x bar和方差为σx平方的随机变量，则切比雪夫不等式给出：
观察(8)的最后一个不等式，如果满足以下条件，则可以具有信道硬化：
否则，信道模型不会硬化。因此，(9)可以被用来确定信道模型是否具有信道硬化特性，如“定义5”所示。
5.Definition 5
对于每个聚合信道，确定性信道硬化度量定义为：
(10)中的确定性信道硬化度量可用于实际的传播信道模型。在某些特定的情况下，甚至可以用封闭形式的表达式来推导这个度量。
小结：信道硬化特性使得每个有效信道增益都以高概率接近其平均值。确定性度量(10)用有限数量的BS天线和工程散射元件测量信道矢量的硬化水平。
3.缺秩 Rank deficiency
这一部分介绍秩亏，它一直是许多无线通信方面的一个基本问题，丰富的散射传播环境不能经常提供具有缺秩的信道分布。然而，这可能出现在较差的散射环境中，例如反射和传播路径数量有限的毫米波通信，对于RIS辅助的大规模MIMO系统，本文提供了聚合信道的秩亏定义，如定义6所示。
6.Definition 6
秩亏表示比BS天线和工程散射单元的数量施加的上限更少的信道自由度。在数学上，我们可以测量聚合信道的信道自由度为
是用户k的聚合信道的协方差矩阵。秩亏意味着
协方差矩阵的秩等于非零本征值的个数，因此利用特征分解对协方差进行投影和特征值分析是观察秩亏得一种方法。每个特征值代表角方向子集中得平均平方幅度，秩亏导致零个特征值或几乎为零得特征值(可压缩特征值)。因此 可以将给定得协方差矩阵投影到具有特征分解的特征结构域上，其特征分解为
是酉矩阵，包括Rk尖的特征向量，对角矩阵
包括对角线上的特征值
如果协方差矩阵有至少一个降低系统容量的零特征值，则出现秩亏。
现在展示在大规模MIMO系统附近安装RIS的秩改进好处，首先从(4)观察到来自用户k的有效功率
可以使用信道硬化特性来近似有效增益为平均值
进一步将平均值处理为：
其中(a)是通过设计相移矩阵
来获得
(b)是通过迹的乘积性质获得的。从(11)中观察到，RIS可以提高接收信号功率。
当RIS不活动或没有贡献时，该等式成立。由于协方差矩阵是半正定的，所以可以通过设计相移来获得
例如，如果协方差矩阵是满秩的，则等式成立，这发生在丰富的散射环境中。相比之下，RIS有利于遭受秩亏问题的传播环境。
小结：通过分析每个协方差矩阵的特征值，可以明确地观察到秩亏。此外，RIS可能用来补偿在大规模MIMO通信中出现的秩不足。
Example ：Rayleigh fading channels
这部分考虑空间相关的瑞利模型，它与BS在RIS中各向同性地辐射对齐。BS和用户k之间的所有信道被定义为：
表示元素独立同分布CN(0,1)的小尺度衰落矩阵/向量.
表示协方差矩阵。在BS处具有有限的散射体数量的情况下，可以通过例如近似的高斯局部散射模型[3]来建模相应的协方差矩阵。使得第(m，n)个元素被给出：
是相应的大尺度衰落系数，Sv是BS周围的散射簇的数量，
是簇s的标称到达角AOA。假设簇的多径分量的AOAs服从高斯分布，分布围绕标称AOA分布，角标准偏差为σv。假设RIS被制造在尺寸NhNv的矩形表面中，其中Nh和Nv分别是每列和行中的元素数目，协方差矩阵Rsi和Rik被给出：
其中βik是级联信道gk相关的大尺度衰落系数。第(m,n)个元素的空间相关矩阵R
被定义为
其中
x属于{m，n}[9,10];λ是平面波的波长，mod(.)和
分别是模运算和取整函数；每个相移单元的大小为dHdv,其中dv是垂直高度，dh是水平宽度。
作为一种特例，空间不想关衰落信道模型给出了
其瞬时信道定义为：
这忽略了元素之间的空间相关性，因此不太实用。即使原始信道遵循循环对称的高斯分布，由于多个高斯随机变量的加权乘积，每个聚集信道遵循一个非高斯分布。对于给定的相移矩阵，仍然可以像“引理1”中那样计算信道统计量。
1. Lemma 1——引理1
如果使用信道模型(13)，则(2)中的每个聚集信道向量的二阶和四阶矩分别给出为：
证明：用户k 的聚合信道的二阶矩首先由直接链路和间接链路的独立性处理为
其中通过使用信道模型(13)与[11,Lemma 8]一起计算间接链路的二阶矩。接下来，将用户k的聚合信道的四阶矩计算为
(20)的最后一个等式中的第一个期望通过将[11,引理 9 ]部署为
同时，使用[11,引理 8 ]来计算(20)的最后一个等式的三个期望为：
处理(20)的最后一个等式中最后一个期望为:
注意到tk和gk是独立的圆对称高斯向量，将(23)重写为：
将(21)、(22)和(24)插入到(20)中，我们得到如引理所示的结果。
注意，引理1中的偶数矩是相移和协方差矩阵的多元函数。因此，这允许我们进一步研究其他效用度量，例如闭合形式的频谱效率和中断概率，其独立于小尺度衰落系数。通过[12,Th.II.1],观察到单用户系统(仅限用户k)在空间相关的信道上的功率标度率为：
是厄密特矩阵
按降序排序的特征值。我们观察到
其中(a)是因为特征值非负而获得的，(b)是由于迹和特征值关系而获得的，©是通过(15)中的协方差矩阵结构获得的，并且因为相位矩阵是酉矩阵。从(25)、(26)中，观察到，根据相移设计,
扩大，RIS提供的阵列增益从N到N平方递增。具体地说，(25)的右边是
的上界，其标度律可能由最优相移设计得到[5]。对于不相关的瑞利衰落信道的情况，信道统计在“推论1”中给出
1.Corollary 1——推论1
如果使用信道模型(16)，则(2)中的每个聚合信道向量的二阶和四阶矩分别给出为：
证明：通过将定义上的协方差矩阵代入(17)和(18)，用
得到了“推论1”中所期望的结果。
“引理2”总结了空间相关瑞利衰落模型的有利传播。
2.Lemma 2——引理2
通过假设
空间相关瑞利信道模型提供了渐近有利的传播特性，并且确定性有利的传播度量可以在闭合形式的表达式中计算如下：
证明：通过利用(2)中定义的集合信道以及在“引理1”中的统计信息，首先观察到(30)
(30)的结果表明，(5)中的渐近有利传播是成立的。对于随机变量X，其方差计算为
因此，
由于聚合信道的均值为0，接下来有：
从(31)开始，现在计算
有：
其中(32)中的最后一个等式是利用[11,Lemma 8]得到的，以类似的方式，我们得到了
因此，得到了闭合形式的(31)为：
将(17)和(33)代入(6)，得到引理所示的结果，并给出证明。
现在利用两个矩阵X和Y的恒等式
(29)的分子表示为
将它重新表示为:
同时，用
表示(29)的分母，它改写为：
由于协方差和相移矩阵都是半正定的，我们可以利用半正定矩阵的恒等式
得到
将(29)的分子和分母除以N平方*M平方，得到：
由于事实是
作为(36)的结果，在空间相关瑞利衰落传播下，随着M的增加，(29)的收敛非常快。对于不相关的瑞利衰落模型，在(37)中计算确定性有利传播度量，随着M，N趋向于∞，如(37)中所示，分子和分母分别按照
的顺序放大，因此，收敛与1/M成正比，仅考虑空间相关模型，它明确地表明，随着安装更多的天线和相移元件，确定性有利的传播度量迅速收敛到0。
图2（a）绘制了(29)中对于具有相同数量的天线和相移元件的系统的确定性有利传播度量。协方差矩阵在(14)和(15)中分别给出，其中
BS位于笛卡尔坐标系的原点，RIS位于(125,125)m,两个用户位于(250,12.5)m和(125,-250)m，观测到相关瑞利衰落信道提供了有利的传播，最低值(最佳性能)属于传播的大规模MIMO(在图2中表示为“直接链路”)。最糟糕的情况是只有间接链路的系统(在图2中指定为“间接链路”)。聚合信道(在图2中指定为“both link”)介于两者之间。
我们现在计算空间相关的瑞利衰落信道模型(13)的确定性信道硬化度量，如“引理3”所示
3.Lemma 3 ——引理3
如果传播信道是空间相关的瑞利衰落信道，则如(38)所示，以闭合形式计算确定性信道硬化度量。
证明：注意
将(17)和(18)插入(10)，得到如引理所示的结果。
(38)的分子和分母分别按照
的数量级放大，因此，随着天线数目和相移的增加，确定性的信道硬化度量收敛到0。对于不相关的瑞利衰落信道，可以将(38)简化为(39)，随着M,N趋向于∞，收敛与(M+N)/(MN)成正比。
度量(39)取决于可以优化的相移元件和天线的数目，以获得更好的信道硬化效果。然而，闭合形式的表达式(39)与相移系数无关，并且对于不相关的瑞利衰落信道，我们不具有基于信道统计的智能环境控制。图2(b)显示了(38)中的确定性信道硬化度量，这表明当在RIS存在的情况下包括来自间接链路的额外信道系数时，信道的硬化程度较低，
此外，图2©显示了协方差矩阵
较高的秩，这要归功于配备在BS处的100个天线和RIS的辅助。
总结：本文描述了RIS辅助大规模MIMO信道的三个基本特性：良好的传播、信道硬化、秩亏。给出了这些属性的定义，以及几个有信道统计表示的确定性度量。计算了具有任意（但有限）天线数和相移的系统的确定性度量的封闭表达式。数值结果表明，利用瑞利衰落模型，聚合信道仍然提供了良好的传播和信道硬化，但比传统的大规模MIMO系统要差。本文进一步提供了关于当传播环境中存在有限数量的散射体时发生的秩亏问题进行观察，这个问题可以通过RIS的辅助来处理。