LintCode题解 —— 2. 尾部的零

描述

设计一个算法，计算出n阶乘中尾部 0 的个数

样例

11! = 39916800，因此应该返回2

解题思路

首先考虑，如果 N! = K * 10^M，且 K 不能被 10 整除，那么 N! 末尾有 M 个 0。考虑对 N！进行质因数分解，N! = 2^x * 3^y * 5^z…，由于 10 = 2 * 5，所以 M 只和 x 与 z 有关，每一对 2 和 5 相乘可以得到一个 10，于是 M = min{x, z}，因为能被 2 整除的数出现的频率比能被 5 整除的数高的多，所以 M = z。所以原问题可以转化为 1 ~ n 所有的数中，一共含有多少个质因子 5 。这里我们利用下面的公式求解:
z = $\lfloor n/5 \rfloor + \lfloor n/5^2 \rfloor + \lfloor n/5^3 \rfloor + ...$(这不会是一个无穷的运算，总存在一个 k，使得 $5^k > 0，\lfloor n / 5^k \rfloor = 0$)

理解起来就是 1 ~ n 中有 $\lfloor n/5 \rfloor$ 个数，这每个数都能贡献一个 5，然后 1 ~ n 中有 $\lfloor n/5^2 \rfloor$ 个数，这每个数又能贡献一个 5 …以此类推。
以上分析参考自《编程之美》。

解题代码

#include <iostream>

using namespace std;

class Solution {
public:
    /*
     * @param n: A long integer
     * @return: An integer, denote the number of trailing zeros in n!
     */
    long long trailingZeros(long long n) {
        // write your code here, try to do it without arithmetic operators.
        long long re = 0;
        while(n){
            re += n / 5;
            n /= 5;
        }
        return re;
    }
};

int main()
{
    Solution solution;
    long long n;
    cin >> n;
    cout << solution.trailingZeros(n) << endl;
    return 0;
}

扩展进阶

求 n! 的二进制表示中最低位 1 的位置。（规定最右的位置为位置 0）
最低位的 1 在哪个位置上，取决于 1~n 的数中有多少个质因子 2，因为只要出现一个质因子 2，最低位的 1 就会向左位移一位，利用下面的公式求解：
质因子 2 的总个数 = $\lfloor n/2 \rfloor + \lfloor n/4 \rfloor + \lfloor n/8 \rfloor + ...$

long long lowestOne(long long n) {
    long long res = 0;
    while(n){
        n >>= 1;
        res += n;
    }
    return res;
}

另外还可以通过下面这个规律求解：
n! 含有质因子 2 的个数还等于 n 减去 n 的二进制表示中 1 的数目。 下面来证明这个结论：
我们把 n 的二进制表达式中 1 的个数记为 m，也就是要证明 $\lfloor n/2 \rfloor + \lfloor n/4 \rfloor + \lfloor n/8 \rfloor + ... = n - m$

如果一个整数k正好为2的某次方（即$k = 2^i$），那么求和公式
$\lfloor k/2 \rfloor + \lfloor k/4 \rfloor + \lfloor k/8 \rfloor + ... = k/2 + k/4 + k/8 + ... + 1$，
根据等比数列求和公式 s = (首项 - 末项 * 公比）/(1 - 公比），可以得到 $k/2 + k/4 + k/8 + ... + 1 = n - 1$

如果在n的二进制表达中有 m 个 1，那么 $n = k_1 + k_2 + ... + k_m$，其中 $k_i = 2^i$，所以
$\lfloor n/2 \rfloor + \lfloor n/4 \rfloor + \lfloor n/8 \rfloor + … = \lfloor (k_1 + k_2 + … + k_m) / 2 \rfloor + \lfloor (k_1 + k_2 + … + k_m) / 4 \rfloor + … = (k_1 / 2 + k_1 / 4 + k_1 / 8 + … +1) +(k_2/2 + k_2/4 + … + 1 ) + … +(k_m/2 + k_m/4 + … + 1) = (k_1 - 1) + (k2 - 1) + … + (km - 1) = n - m$

即证！

long long lowestOne2(long long n) {
    long long count = 0;
    long long temp = n;
    while(temp){
        temp &= (temp - 1);
        count++;
    }
    return n - count;
}