计算机视觉基础：霍夫变换（Computer Vision Fundamentals: Hough Transform）

霍夫变换

核心思想

将二值图像由直角坐标系的表达方式转化为极坐标系表达。这样，极坐标系下具有相同$\rho$和$\theta$的位置如果大于一定阈值，说明该位置具有一条直线。

基本流程

对于一条直线，其在直角坐标系下可以表示为$y=kx+b$, 在极坐标系下可以表示为$\rho =x\cos \theta +y\sin \theta$。其中，$\rho$表示坐标原点到直线的距离, $\theta$表示直线和$x$轴的夹角。

下面两个图都表示直角坐标到极坐标的转换，只不过坐标原点不同。

好了，有了直角坐标系到极坐标系的转换，对于任何一个二值图像(假设维度为$100\times 100$), 我们可以列一个表格（横坐标表示角度$\theta$，纵坐标表示$\rho$）， 然后把所有的前景像素全部转化到极坐标下，具体操作如下：

1. 首先选择角度分辨率, 如当分辨率为1时，则一共有180个角度 (0 ~ 180).
2. 构建accumulator, 即一个表格(这里有个特殊名词叫Hough space)，横坐标为$\theta$ $(0-180度)$, 纵坐标$\rho$ (0, 对角线的长度)
3. 对于任何一个前景点，我们给定一个经过该点的$\theta$, 就会计算出一个对应的$\rho$, 然后给对应表格$(\rho ,\theta )$加一。
4. 遍历所有前景点，得到最终表格。
5. 使用阈值对直线进行选择。

下图动态地展示了上述1-5的操作过程：

下图直观地展示了一个从直角坐标转化到极坐标之后的图像，霍夫空间中高亮点的地方就是直角坐标系下直线可能出现的地方：

概率霍夫变换 (PPHT)

简介

OpenCV给我们提供了两种霍夫变换的实现方式，一种是原始的霍夫变换，另一种是概率霍夫变换。区别在哪儿呢？

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我们发现，霍夫变换的计算量和占用内存情况还是很大的，特别是当前景像素点较多，或分辨率较小的时候，概率霍夫变换在一定程度上解决了这个问题。

核心思想

概率霍夫变换的主要思想是：只将部分前景点计算到霍夫空间中，而不是遍历直角坐标系下的所有点, 从而简化运算

基本流程

1. 检查图像是否为空，如果为空则结束
2. 在图像中随机选择一个前景点映射到极坐标系，更新累加器(accumulator)
3. 在图像中删除这个前景点
4. 检测更新后的累加器的峰值，看其是否超过设定的阈值$T$. 如果没超过，返回1
5. 沿着累加器的峰值查看，找到具有连续像素的线段，或者找到不超过给定阈值间隙的最长线段。
6. 在图像中把线段上所有的前景点去掉。（这样可以减少计算量）
7. 在累加器中将刚才线段上的所有点对应的$\rho$和$\theta$去掉
8. 如果线段长于设定的最小长度，则将其添加到输出列表中
9. 返回1

参考文献

[1] Hough Line Transform

[2] 霍夫变换

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Hough_transform

[4] J. Matas, C. Galambos and J. Kittler. “Robust Detection of Lines Using the Progressive Probabilistic Hough Transform,” in Computer Vision and Image Understanding, 2000, 78(1): 119-137 doi: 10.1006/cviu.1999.0831