[SDOI2008]仪仗队（欧拉函数或莫比乌斯反演）

[SDOI2008]仪仗队

题意：设左下方是坐标$(0,0)$，求($0,0)$处能够看到的人数。

每个人对应一个坐标$(x,y)$，只要$gcd(x,y)=1$就能被$(0,0)$看到（令$gcd(0,1)=1$,和$\varphi (1)=1对应$）。

欧拉函数

思路：我们只看其中的一半x，另一半和它对称，然后就得到式子$x={\sum }_{x=1}^n{\sum }_{y=1}^x[gcd(x,y)=1]$

推式子：

$$\begin{gathered} \sum _{x=1}^n\sum _{y=1}^i[gcd(x,y)=1] \\ \sum _{x=1}^n\varphi (x) \end{gathered}$$
$\varphi (x)$可以提前用线性筛筛出来，然后再求$\varphi (x)$的前n项和x，答案就是2*x+1了（这里的1是$gcd(1,1)=1$）。

我们是从$x=1，y=1$开始枚举，但看起来$gcd(0,1)和gcd(1,0)$并没有算进去，其实x的计算中$\varphi (1)其实已经把这些算进去了$

$Code$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 5e6;
bool st[N];
ll p[N], ou[N], tot;
//欧拉函数的线性筛
void init() {
    
    
    for(int i=2; i<N; i++) {
    
    
        if(!st[i]) {
    
    
            p[tot++] = i;
            ou[i] = i-1;
        }
        for(int j=0; j<tot&&i*p[j]<N; j++) {
    
    
            st[i*p[j]] = 1;
            if(i % p[j] == 0) {
    
    
                ou[i*p[j]] = ou[i]*p[j];
                break;
            }
            ou[i*p[j]] = ou[i]*(p[j]-1);
        }
    }
}
int main() {
    
    
    ou[1] = 1;
    init();
    ll n, ans = 0;
    cin >> n;
    //求欧拉函数前n-1项的和
    //为啥是n-1,因为是从坐标（0，0）开始计算的。
    for(int i=1; i<n; i++) {
    
    
        ans += ou[i];
    }
    cout << ans*2+1;
    return 0;
}

莫比乌斯反演

推式子：

$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n[gcd(i,j)=1] \\ \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{d|gcd(i,j)}\mu (d) \\ \sum _{d=1}^n\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{d|gcd(i,j)}\mu (d) \\ \sum _{d=1}^n\mu (d)\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum _{j=1}^{\frac{n}{d}}1 \\ \sum _{d=1}^n\mu (d)\lfloor \frac{n}{d}\rfloor \lfloor \frac{n}{d}\rfloor \end{gathered}$$
从上往下解释一下：
第一个式子是总的答案；
第二个式子是莫比乌斯函数的一个性质；
第三个式子加了一个枚举d的操作，这样的话就可以转换成第四个式子；
第四个式子（比较重要）d是i，j的因子所以可以写成${\sum }_{d|i,d|j}$说明d是i，j的因子，同样也说明i，j是d的因子，在区间$[1,n]$中是d的倍数的有$\frac{n}{d}$个。同样也是第五个式子。

然后看到$\frac{n}{d}$就可以想到整除分块了。

$Code$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 5e6+10;
ll p[N], sum[N], phi[N], tot, mu[N];
bool st[N];
//线性筛筛出莫比乌斯函数
void init() {
    
    
   phi[1] = 1, mu[1] = 1;
   for(int i=2; i<N; i++) {
    
    
      if(!st[i]) p[tot++] = i, phi[i] = i-1, mu[i] = -1;
      for(int j=0; j<tot&&i*p[j]<N; j++) {
    
    
         st[i*p[j]] = 1;
         if(i % p[j] == 0) {
    
    
            phi[i*p[j]] = phi[i]*p[j];
            mu[i*p[j]] = 0;
            break;
         }
         phi[i*p[j]] = phi[i]*(p[j]-1);
         mu[i*p[j]] = -mu[i];
      }
   }
   //对莫比乌斯函数求前缀和
   for(int i=1; i<N; i++) {
    
    
      sum[i] = sum[i-1] + mu[i];
   }
}

ll solve(ll n, ll m) {
    
    //整除分块（模板）
   ll ans = 0;
   if(n > m) swap(n, m);
   for(ll i=1, last; i<=n; i=last+1) {
    
    
      last = min(n/(n/i), m/(m/i));
      ans += 1ll*(n/i)*(m/i)*(sum[last]-sum[i-1]);
   }
   return ans;
}
int main() {
    
    
   init();
   ll n, m;
   cin >> n;
   cout << solve(n-1, n-1)+2;
   return 0;
}

$End$